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矩阵的相似对角化1
LOGO 第四章 矩阵的
相似对角化
第一节
矩阵的特征值与
特征向量
胡倩倩
qianqian_hu@163.com
特征值与特征向量
定义 设A 是一个n 阶方阵, 如果存在一个数λ,
以及一个非零n 维列向量α, 使得
Aα = λα
则称λ 是A 的特征值, 而α 称为矩阵A 的属于
特征值λ 的特征向量.
2
特征值与特征向量
定义 Aα = λα
特征值 特征向量
说明
1. 只有方阵才有特征值和特征向量
2. 特征向量必须是非零向量
3. 特征向量依赖于矩阵A 和特征值λ
4. 一个特征向量只属于一个特征值
Aα = λ α
因为 1 (λ －λ )α = O
Aα = λ α 1 2
2
即λ1 = λ2
3
特征值分析
Aα = λα (λE －A) α O
(λE －A) x = O 有非零解
结论:
1. λ 是A 的特征值 λ 是方程|λ E －A | = 0 的根
2. 相应的非零解就是特征向量
4
特征矩阵
定义 设A 是n 阶方阵, 称λE －A 为A 的特征矩阵,
称特征矩阵的行列式
f (λ) = |λE －A |
为矩阵A 的特征多项式,
称|λE －A | = 0 为矩阵A 的特征方程.
5
特殊性质
推论 对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵的特征值
就是主对角线上的所有元素.
6
定理
(1) 设α 是矩阵A 的属于特征值λ 的特征向量, 则对于
任意常数k ≠0, kα 也是A 的属于λ 的特征向量;
(2) 设α , β 都是矩阵A 的属于特征值λ 的特征向量, 则
k α + k β (k , k
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