矩阵的降阶定理及其应用.pdfVIP

第 2O卷 第 3期 河南教育学院学报 (自然科学版) V0l_20 NO．3 2011年 9月 JournalofHenanInstituteofEducation(NaturalScienceEdition) Sep．2011 doi：10．3969／j．issn．1007—0834．2011．03．003 矩阵的降阶定理及其应用 呙林 兵 (长江大学 信息与数学学院，湖北 荆州434023) 摘要 ：给 出了矩阵求逆 的几个降阶定理 。利用这些定理可将求高阶矩 阵的逆转化为求低 阶矩阵的逆 ，并 由定理 导出了两个推论 ，这些定理及其推论在求逆矩阵的过程 中具有重要 的意义． 关键词 ：矩阵；可逆矩阵；矩阵的逆 ；降阶定理 ；分块矩阵 中图分类号：0151．21 文献标识码 ：A 文章编号：1007—0834(2011)03—0007～02 引理… 设 A是 m 阶可逆矩阵 ，。是 n阶可逆 矩阵 ， 则I(A0D)J为可逆矩阵，且 (：)-1：A-‘ )． 2 定理及其证明 ’ 定理l设4』是m阶可逆矩阵，。是n阶矩阵，日与c分别是m×n与n×m阶矩阵，则(三)是可逆矩阵的充要条件是： D—CA B是可逆矩阵，且当D—CA一B是可逆矩阵时，有 ()～= +A-B一(D-CA一ICA～～-JB(D-CA- )． 证明由于(一一。)(三)=(：。～CA-IB)，则当A．)是可逆矩阵时(：。一CA-~B)也是可逆矩阵，则 D—CA 曰也是可逆矩阵． 由于 A ． 三)=(～一。)～(：。一三一。曰)，当。一cAB是可逆矩阵时，由引理可知(：一cBA一．曰)也是可逆矩 ( 一=(：。一 一Im． A一 )(_In, ／AI1+AI1B (D—CA 曰) CA_。 一A一。曰(D～CA一B) 、 ＼ —-(D——CA一B)一。CA一 (D．．CA’。B)一。 J。 定理2设A是m阶矩阵是n阶可逆矩阵，B与c分别是m×n与n×m阶矩阵，则()是可逆矩阵的充要条件是： A—BD C是可逆矩阵，且 当A—BD C是可逆矩阵时 ，有 A - 。BD -t (A-BD-IC)- ． ． 。)． 证 明 A ， 三)(一。Im一。c)=(A—BD。c)，当()是可逆矩阵时,A-BD-tC必是可逆矩阵．3L,()： (一BD。c三)(一。c)～，则当A一口。c是可逆矩阵时，由引理可得(一BD。c)是可逆矩阵，且 收稿 日期 ：2011—04—24 作者简介 ：呙林兵 (1970一)，男 ，湖北荆州人 ，长江大学信息与数学学 院讲师． 8 河南教育学院学报 (自然科学版) 2011生 ( c)-1=( ～ 曰D-IC)lBD-1)， 则(三：)一’=(一。le一t。c)(