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三. 分块矩阵的应用 线性方程组的表示形式 三. 分块矩阵的应用 线性方程组的表示形式之一 如何解多个系数矩阵都为A的方程组？ AX1 = B1 AX2 = B2 ? ? AXs = Bs ( AX1,?, AXs ) = ( B1,?, Bs ) A( X1,?, Xs ) = ( B1,?, Bs ) ? 矩阵方程 AX = B A? Rm?n, Bj ? Rm , Xj ? Rn , j= 1,2, ?,s. ? ? 用初等行变换求解矩阵方程： (A B) 初等 行变换 行 阶 梯 阵 r(A) = r(A B)? 行 最 简 形 无解 N 初等 行变换 Y 矩阵方程的求解 如何解多个系数矩阵都为A的方程组？ X B 例5. 求解BY = A, AX = B. 解： 第二章 矩阵 §2.3 分块矩阵 尤其要注意AB = 0时的特殊情况: 说明B 的每一列都是齐次线性方程组 Ax = 0的一个解. *例6 第二章 矩阵 §2.3 分块矩阵 AB的列向量 尤其要注意AB = 0时的特殊情况: *例6 第二章 矩阵 §2.3 分块矩阵 AB的列向量 例7. 设A是二阶方阵，x是二维非零列向量， 若 ，求一矩阵C， 使得AB = BC. 注意：不能提公因子B *例6 第二章 矩阵 §2.3 分块矩阵 AB的列向量 例7. 设A是二阶方阵，x是二维非零列向量， 若 ，求一矩阵C， 使得AB = BC. BC的列向量 BC的列是B1,B2的线性组合 线性方程组的表示形式之二 即 称b是向量组 A1, A2, …, An 的线性组合。 x1, x2, …, xn 称为线性组合的组合系数。 第二章 矩阵 §2.3 分块矩阵 (AB)的列向量是A的列向量组 A1, A2, …, An 的线性组合 设 若把A, C按列分块，则 AB的列向量 2. 矩阵AB的列向量 若把矩阵B, C按行分块，则 设矩阵 于是有 (AB)的行向量是B的行向量组?1, ?2,…, ?n的线性组合. 第二章 矩阵 §2.3 分块矩阵 3. 矩阵AB的行向量 第二章 矩阵 §2.3 分块矩阵 §2.3 分块矩阵 一. 矩阵的分块 三. 分块矩阵的应用 矩阵方程的求解 转置 乘法 二. 分块矩阵的运算 2. 矩阵AB的列向量 3. 矩阵AB的行向量 分块求逆 分块求行列式 第二章 矩 阵 一. 秩的概念 二. 初等变换和矩阵的秩 §2.4 矩阵的秩 三. 矩阵的等价标准形 §2.3 分块矩阵 §2.2 可逆矩阵 §2.1 矩阵的代数运算 问题：不同的初等行变换所得到的阶梯阵 的阶梯数会不会不同呢？ 阶梯阵的阶梯数反映了矩阵的什么本质信息？ 第二章 矩阵 §2.4 矩阵的秩 问题的提出: 初等行变换 (阶梯阵) A = ?2 0 4 1 1 0 1 3 2 2 0 0 ?8 ?2 2 0 0 0 0 0 ?0 =0 (阶梯数=3) (存在一个非零的3阶子式，任意4阶子式都为0.) 第二章 矩阵 §2.4 矩阵的秩 1. k阶子式：在Am?n中, 任取k行与k列(k? m, k?n), 位于这些行列交叉处的k2个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式. 这样的子式共有 个. 2阶子式 ?2 0 0 1 ?2 0 1 0 1 2 4 0 ?2 = ?2 3阶子式 = 0 一. 秩的概念 A的所有3阶子式都为0 A中非零子式的最高阶数为2. 例. A = ?2 0 4 1 0 1 3 2 4 0 ?8 ?2 A = ?2 0 4 1 1 0 1 3 2 2 0 0 ?8 ?2 2 0 0 0 0 0 注2. 矩阵 r(A) = r ? A中至少有一个r阶子式 而当kr时, A的任一k阶子式都为0. 2. 矩阵A的秩 (rank) A中非零子式的最高阶数, 记为r(A). 注1. 0 ? r(Am?n) ? min{m, n} 而A的所有4阶子式