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21世纪数学导读 21世纪即将走完它的第一个十年，数学也同其他科学领域一样有着极多的成就。由于数学并非自然科学，大多数成就恐怕难于为外行甚至隔行的人理解；更由于数学本身的积累性，不了解以前的数学很难理解当代数学，因此这里有必要对于之前的数学进行必要的梳理及回顾，也算是一个导读吧。 19世纪数学的简要回顾 不可否认，当代教育甚至大学中的数学，主要是三四百年前甚至更早的内容：符号代数、解析几何、微积分乃至初等概率论及统计。当然，许多学者也想学习近200年的数学就像物理学、化学、生物学那样，激光器出现不过50年，DNA稍微早一些，也不到60年，它们已经是家喻户晓了。19世纪的数学对于大多数人来讲相当难。1801年，24岁的高斯（C. F. Gauss）出版了他的《算术探究》，其中大部分内容给数学专业的24岁大学生及研究生读，能有多少人理解呢？不到21周岁就英年早逝的伽罗瓦（?魪. Galois），他所创造的伽罗瓦理论又有多少人知道呢？由于对数学史的无知，许多人至今甚至不懂射影几何和非欧几何，更不用说现在十分热门的李群及李代数了。 不管怎么说，在1900年之前，数学已经积累了大量的知识。到1900年，全才的数学家已不多见。数学被划分为三大块：代数、分析、几何。分析与几何占了数学的主要部分，数论被归入代数之中。在当时，纯粹数学与应用数学不太分得清，从高斯到庞加莱（H.Poincaré），他们都是纯粹数学家，也是应用数学家，甚至还有其他科学家的头衔：高斯是物理学家、天文学家、测地学家，同时，他也是计算大家。当然，他没有后来的先进计算工具，可是他提供了先进的算法，其中有的至今还在用。 这样，1900年前的数学，我们可以划分为五部分：数论、几何、代数、分析、计算数学。其中数论是研究数的，几何是研究形的，它们是有“对象”的学科。而计算数学、代数和分析则是“操作”性或计算的学科。其主要目的是设计好的算法。计算数学偏重于数值计算，而代数则看重于符号计算，当时主要目的是求解方程，特别是代数方程。分析从微积分开始，从一开始就着重于无穷的演算。因此，记住下面的名言是有好处的：分析是无穷的代数，代数是有限的分析。 19世纪数学家最大的贡献在于，碰到计算问题不是去傻算，而是要考虑可行性的问题。在这种情形下，也形成一些重要理论。其中最突出的就是前面谈到的伽罗瓦理论，也就是代数方程有没有根式解的问题。挪威数学家阿贝尔（N.H.Abel）已经证明，不是所有五次及五次以上方程都有根式解，即由方程的系数经加、减、乘、除及开方得到的解。当然，这不意味着所有五次及五次以上方程都没有根式解，也就是有的方程有根式解、有的方程没有。伽罗瓦理论就是对于任何代数方程找到一个判断标准，来判定它是有根式解还是没有根式解。伽罗瓦理论反映出在数学实践及应用过程中，不是盲目地想当然地蛮干，而是建立理论并接受理论的指导。数学主要是一种理论知识，它虽然有实用及实践的背景，但理论很快就逐步地独立发展成为新的数学学科和分支。 伽罗瓦理论产生出“域”和“群”的概念，它们分别成为新的数学研究对象。自然，以它们为研究对象的理论（或学科、分支）就称为“域论”和“群论”，这些数学理论又在许多理论及应用领域找到自己的应用。只不过，只看教科书，你就不了解为什么研究“群”这种抽象的数学对象（而不是过去相对直观的数及形），更不了解怎样去研究它。好的数学史会引导数学专业学生及学者。 ２０世纪的传承 遗憾的是，20世纪还没有好的系统的数学史。不要以为历史需要过上100年、200年，物理学的各个分支都有相当详尽的通史及专史了，例如，代表20世纪物理学革命的相对论与量子力学历史。生物学史也有很好的研究。数学史则差得太远，克莱因（M. Kline）的《古今数学思想》20世纪篇幅很少，也只讲到1930年代，而且大部分内容也没有覆盖。 为了我们的需要，笔者在这里把20世纪数学简单地梳理一下。当然，1900年以前的数学沿着各自发展的途径各有相当的进展，我们可以称之为经典数学，大致就是上面所说的五大块。20世纪数学的最大进展，就是给数学增添了无比丰富的新内容，它们占了现有数学内容的90%以上。从历史的观点看，这些新内容与经典数学也有密切关系，然而，它们自身繁衍的力量决不可小视。也许正因为此，它们同应用数学的联系更少了。可是另一方面，这些抽象的数学仍然对自然科学乃至其他领域有着“不可思议的有效性”，最典型的例子就是群论在原子与分子结构、核结构乃至粒子物理以及晶体物理中的应用。反过来，纯数学中的大问题（例如黎曼假设）与物理学中谱线分布有关。 对20世纪数学最大的推动力来源于康托尔（G. Cantor）的集合论。他的无穷集合的概念给数学带来两个新趋势：研究无穷与研究结构。它们分别导致数理逻辑（笔者称之