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几何与代数 主讲: 关秀翠 东南大学数学系 课程中心：在教务处网页上 课程名称：几何与代数（B） 班级名称：（10-11-2-46） 学生在获得选课码：WXAF-0665 之后，只需在选课功能中直接输入选课码即可成功的选上课程。 学生人数限制：263 (人) 选课开始时间：2010-10-12 选课结束时间：2010-10-31 教学内容和学时分配 第二章 矩 阵 教 学 内 容 学时数 §2.1 矩阵的代数运算 2 §2.2 可逆矩阵 2 §2.3 分块矩阵 1 §2.4 矩阵的秩 1 §2.5 初等矩阵 2 §2.6 用Matlab解题 1 m?n矩阵 n阶行列式 定义 加法 数乘 乘法 符号 思考题：行列式与矩阵的区别 D = a11 … a1m am1 … amm … … b11 … b1n bn1 … bnn … … a11 … a1m 0 … 0 … … … … … … … … = am1 … amm 0 … 0 c11 … c1m b11 … b1n cn1 … cnm bn1 … bnn A 0 C B 0 A B C = |A| |B| = (?1)mn |A| |B| A,B为m,n阶矩阵 A C 0 B = = C A B 0 思考题：能否利用这些结果证明 |AB| = |A| |B|？ (其中A,B为n阶矩阵) (可先考虑 n=2的情况) 思考题二 第二章 矩阵 证. 设D = a11 a12 0 0 a21 a22 0 0 ?1 0 b11 b12 0 ?1 b21 b22 证明： |AB| = |A| |B| (以A,B为2阶方阵为例证明) A 0 ?E B = = |A| |B| D 0 0 0 0 ?1 0 b11 b12 0 ?1 b21 b22 a11b11+a12b21 a11b12+a12b22 a21b11+a22b21 a21b12+a22b22 0 AB ?E B = = (?1)4+2 |AB| = |AB| =(?1)2?2|AB| |?E| = (?1)n(n+1)|AB| = |AB| 第二章 矩阵 §2.2 可逆矩阵 定理2.1(乘法定理) A,B为n阶方阵, |AB| = |A| |B| A 0 ?E B |A| |B|= 0 AB ?E B =(?1)n n = (?1)n(n+1)|AB| = |AB| 第二章 矩阵 §2.2 可逆矩阵 证： 注6：矩阵乘积的交换率一般不成立 A,B为n阶方阵, |AB| = |BA| ? |AB| = |A| |B| = |B| |A| = |BA| ? 注7: 矩阵乘法的消去率一般不成立. ？ ? |AB| |?E| m?n矩阵 n阶行列式 定义 加法 数乘 乘法 符号 行列式与矩阵的区别 | |,初等变换时用 = [ ]或( ),初等变换时用? 在解方程 ax=b 的时候,如果 a ? 0, 等式两边同乘以 a-1, 得 x=a-1b . 线性方程组 Ax=b, 能否在一定条件下引进 A-1 的概念,使得解为 x = A-1b ? 由a-1 a=1想到 A-1A= E. 但矩阵乘法不满足交换律，AA-1= E？ 问题的提出: A应是什么矩阵? 如何定义A-1 ? A应是方阵. A-1 A = AA-1= E. 第二章 矩阵 三. 可逆矩阵的运算性质 二. 可逆矩阵 四. 克拉默法则 1. 定义 §2.2 可逆矩阵 2. 伴随矩阵 §2.1 矩阵的代数运算 一. 行列式的乘法定理 A,B为n阶方阵, |AB| = |A| |B| §2.2 可逆矩阵 二. 可逆矩阵 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 AB = BA = E. 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 注1. 可逆矩阵只是定义在 n阶方阵上的. 第二章 矩阵 §2.2 可逆矩阵 注2. 定义中矩阵 A 与B的地位是相同的, 如果 A可逆,且B是 A的逆,则B也可逆, 且A 也是B的逆,即A与B互逆. 问题: 你学过的方阵中,哪些是可逆阵