2.1 幂级数.pptVIP

第二节 幂级数 一、幂级数的定义 二、幂级数及其收敛性 三、幂函数的运算及其性质 四、求幂级数的和 五、函数展开为幂级数 二、幂级数的收敛半径和收敛区间 三、幂级数的性质 下面考虑复函数的情况: 注 将函数展开为幂级数的方法: 1. 直接法： 将 复函数 f (z) 展开为幂级数的步骤： 将实函数 f (x) 展开为幂级数的步骤： 解 第十章 函数项级数 无穷级数与极限有着十分密切的关系,它是函数表示,函数逼近及数值计算的一种重要数学工具. 一、幂函数的定义 以后主要讨论 z 的幂级数. |z|R 注： 1.R---收敛半径 , ---收敛区间 ——收敛圆 注意：幂级数在收敛圆内部绝对收敛;在收敛圆外部发散; 在收敛圆周上，幂级数的敛散性不能断定。 例 1 求下列幂级数的收敛半径与收敛圆: 解: 解:(1) 设收敛半径为R,则 所以在 处绝对收敛。 的端点,于是收敛半径R=3， 在 处,敛散性无法确定. (2) 因为 在 处条件收敛,故知 为收敛区间 设 则 例4 解： 求 的和函数: 收敛半径 四、求幂级数的和 五、将函数展为幂函数 前面讨论了幂级数的收敛性及如何求幂级数的和函数问题。 现在考虑它的反问题，给定函数，能否将其表达成一个 幂级数，即所谓函数展开为幂级数的问题。 定义 设 f (z) 在 z0 的邻域内有任意阶导数，则称级数 为 f (z)在 z0 的Taylor级数。 若 称 为 f (z) 的Maclaurin级数。 设 f (x) 在 x0 的邻域内有任意阶导数，则称级数 —— f (x)在 x0 的Taylor级数。 若 —— f (x) 的Maclaurin级数。 特别地，首先考虑实函数的情况: 记 Taylor定理 时， 即在 的条件下,Taylor级数收敛到 f (x) ,有 f (x)在 x0处的Taylor展开式（ f (x)能展开成 x-x 0Taylor级数) Taylor定理 定理2.9 设 f (x)在 x0某邻域 内有任意阶导数， 则 : f (x)在 内能展开成 x-x 0 Taylor级数 唯一性: 若f (x)可展开为 x 的幂级数，则它 的展开式必唯一， 即为Maclaurin级数 特别当 3.1 场的概念 数学系 贺 丹 第七章 向量函数的积分 10.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 4．定理3 （曲线积分基本定理） 10.3.3 全微分方程 解法2（偏积分法） 1．曲线积分与路径无关的定义 设D是一个平面区域，若对D内任意两点A,B及D内 从点A到点B的任意两条曲线，等式 或 恒成立，则称曲线积分在D内与路径无关。 2．定理2 若向量值函数在单连 通域D上有一阶连续偏导数，则以下四个命题等价： （1），有； （2）沿D内任意的逐段光滑闭曲线C，有 ； （3）曲线积分与路径无关，只与位于D内的起点 A与终点B有关。 （4）在D内存在二元函数，使得。 则， ①若不相交， 证明：由（1）（2）。 设R是C所包围的区域， ∵D是单连通域，∴。 ∵在R上有， ∴由公式得。 由（2）（3）。 ，以不同的路线连结A与B。 。 由（3）（4）。 ∵曲线积分与路径无关， ∴取定起点，曲线积分则是终点 的函数，记为，即。 ∴。 若相交，则再引，使， 下面来证明。 ∵ ∴取由点A到点B是沿任意光滑曲 线，点B到点C是平行x轴的线段。 ∵曲线积分与路径无关， (上，y是常数，.) ，。(积分中值定理) ∴ ， ∵在点上连续， 同理可证， 从而。 由（4）（1）。 ∵，∴，， ，， ∵有一阶连续偏导数，即连续， ∴。 定理2表明，在单连通域内，若，则曲线积分与 路径无关，此时可以选择特殊的路径计算给定的曲线积分。 注意：定理2 中的区域D必须是单连通域，若D是复连通域， 定理2就不一定成立。 例如： ，，在复连通域 中，具有连续偏导数， 且，但。 例1．计算，其中 C是摆线，从点到点 的一段弧。 ∵在全平面上连续， 且， ∴曲线积分I与路径无关。 把积分路径改为直线段， 则。 解：，， 例2．计算，其中C是沿 从点到点的曲线弧。 解：，， ∵， ∴在任何不含原点的单连通域内曲线积分与路径无关。 （1）选取平行于坐标轴的折线ACDB作为积分路径， ：， ，； ：， ，； ：，，。 则 ，， 。 （2）选取圆弧A