2010年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲.docVIP

2010年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲 一、考试科目名称: 《数学分析》 二、招生学院和专业：数学与计算机学院。 ? 基本内容(可续页): 1.????? 集合与映射：集合、子集、余集，集合的并、交、差，集合运算的交换率、结合率、分配率，笛卡儿乘积，映射、满射、单射、双射、逆映射，像与逆像，映射的复合，映射的限制与延拓，一元函数，函数的四则运算与复合，函数的图象，初等函数，函数的单调性、有界性、周期性与凸性。 2.???? 极限与连续：数列极限的 ξ-N定义，数列极限的唯一性，收敛数列的有界性，极限与四则运算，极限与不等式，单调有界原理，数e，无穷小量与无穷大量，函数极限的ξ-N 定义，与数列极限性质相平行的函数极限的性质，函数极限与数列极限的关系，单侧极限与无穷远处的极限，复合函数的极限，两个重要的极限，无穷小量与无穷大量的阶，函数的连续与间断，单侧连续，函数连续的局部性质，连续函数的四则运算，反函数与复合函数的连续性。间断点的分类，初等函数的连续性，函数连续的整体性质。 3.????? 导数与微分：导数及其几何意义，导数的四则运算，反函数与复合函数的求导，参数方程所表示的函数与隐函数的求导，基本初等函数的导数，可导与连续的关系，单侧导数，高阶导数，Leibniz公式。线性函数与微分，微分与导数的关系，微分的四则运算，反函数与复合函数的微分，一阶微分形式的不变性，高阶微分。 4.?????? 微分学基本定理及其应用：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。Taylor公式，Taylor公式的Peano余项及Lagrange余项。某些初等函数的Taylor展开式。微分学应用：待定型的定值法，函数的升降，极值，最值，凸性，拐点的判定，渐近线，函数的作图，曲率，曲率半径，曲率圆。 5.????? 不定积分：原函数与不定积分，基本积分公式，运算法则。不定积分的换元法与分部积分法，有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些可有理化的函数的积分。 6.?????? 黎曼积分：R-积分，达布上、下和与上、下积分，R-可积的充要条件，R-可积与函数运算，重要的可积函数类，R-积分的线性性、可加性与正性，第一积分中值定理，变动上限积分所定义的函数的连续性与可微性。黎曼积分的计算：N-L公式，换元法与分步积分法，R-积分的近似计算。定积分的元素法与应用：面积、体积、弧长、旋转面的面积、重心、压力、功。 7.????? 7．实数理论与连续函数的整体性质：上、下确界，确界原理，单调有界原理，闭区间套定理，致密性定理，柯西收敛原理，有限覆盖定理，实数系的公理体系。有界闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最值定理，介值定理。反函数连续性定理，一致连续性定理。 8.????? 数项级数：数列的上、下极限，部分和极限。数项级数收敛与发散，级数收敛的必要条件，收敛级数的线性运算与结合率，柯西收敛原理。单调有界原理，正项级数审敛法：比较判别法，柯西根值法，达郎贝尔比值法，积分判别法，拉伯判别法。任意项级数审敛法：莱布尼兹判别法，阿贝尔变换与阿贝尔判别法，狄里克莱判别法。绝对收敛级数与条件收敛级数. 9.????? 广义黎曼积分：两类广义积分的收敛与发散，广义积分与级数，积分第二中值定理，比较判别法，柯西判别法，阿贝尔判别法，狄里克莱判别法，积分主值。 10.?? ?函数项级数：函数项级数的一致收敛，一致收敛的柯西收敛原理，M-判别法，狄里克莱判别法，狄尼定理，一致收敛级数的和函数的连续性，可微性与可积性，逐项求导与逐项求积。幂级数的收敛半径，柯西-阿达玛定理，阿贝尔第一、第二定理，幂级数的和函数的性质，函数的幂级数展开。Weierstrass定理。 11.?? Fourier级数与Fourier变换：正交函数系，三角函数系的正交性，Fourier系数，Fourier级数。Dirichlet积分，Riemann引理，局部化定理，Dini判别法，Dirichlet--Jordan判别法，函数的Fourier级数展开，Fourier级数的逐项求导与逐项求积， 12.?? 多元函数极限论：欧氏空间中的拓扑性质：范数，邻域，开集，闭集，开核，闭包，有界集，紧集，连通集，区域，聚点，点列的极限，柯西收敛原理，交集定理，致密性定理，有限覆盖定理，多元函数的极限与累次极限，函数的连续性，有界闭区域上连续函数的性质。 13.?? 多元微分学：偏导数及其几何意义，线性函数与全微分，连续可微、可偏导之间的关系，链式法则，高阶偏导的次序交换定理，隐函数的偏导计算，高阶全微分，一阶微分形式的不变性。方向导数与梯度的定义与计算，梯度。Taylor公式。 14.?? 向量值函数：向量值函数的极限与连续，向量值函数的偏导数和方向导数，线性映射