数理统计-第一章 统计量及其分布.ppt

先证必要性。 设T是充分统计量,则在T=t下,P(X1=x1, · · ·,Xn=xn|T=t) 与θ无关，记为h(x1,x2, · · · ,xn) 或 h(x)，令A(t)={x:T(x)=t} ，当x?A(t)时有 故 其中ɡ(t, θ)=P(T=t; θ) ,而h(x)=P(X1=x1, · · · ,Xn=xn) 与θ无关，必要性得证。 对充分性，由于 对任给x=(x1,x2, · · · ,xn)和t ，满足x?A(t) ，有 该分布与θ无关，这证明了充分性。 例 1.17 设x1,x2, · · · ,xn是取自总体U(0, θ) 的样本，即总体的密度函数为 于是样本的联合密度函数为 由于诸xi0，所以我们可将上式改写为 取T=x(n),并令ɡ(t, θ)=(1/ θ)nI{t θ},h(x)=1,由因子分解定理知T=x(n)是θ的充分统 计量。 例 1.18 设x1,x2, · · · ,xn是取自总体N(μ,σ2)的样本，θ=(μ,σ2) 是未知的，则联合密度函数为 取 ,并令 ，h(x)=1,则由因子分解定理， 是充分统计量。进一步，我们指出这个统计量与(x,S2)是一一对应的，这说明在正态总体场合常用 的(x,S2)是充分统计量。 * * * 但到了 20 世 纪，受人工控制的试验条件下所得数据的统计分析问题，日渐引人注意。此时的数据量一般不大，故那种依赖于中心极限定理的传统方法，开始受到质疑。这个方向的先驱就是 W.S.Gosset (1876–1937) 和 R. A. Fisher。 哥塞特年轻时在牛津大学学习数学和 化学，1899 年开始在一家酿酒厂担任酿酒 化学技 师，从事试验和数据分析工作。由 于哥塞特接触的样本容量都较小，只有4.5 个，通过大量 实验数据的积累，哥塞特发 现 的分布与传统认为 的 N(0,1)分布并不同， 特别是尾部概率相 差较大，表 1.4 列出了标准正态分布N(0,1) 和自由度为 4 的t分布的一些尾部概率。 表 1.4 N(0,1)和t(4)的尾部概率P(|X|≥c) 由此，哥塞特怀疑是否有另一个分布族存在，但他的统计学功底不足以解决他发现的问题,于是，哥塞特于 1906 到 1907 年到 Pearson 那里学习统计学，并着重研究少量数据的统计分析问题 1908 年他在 Biometrics 杂志上以笔名 Student 发表了使他名垂统计史册的论文：均 值的或然误差。 在这篇文章中，他提出了如下结果：设 x1,x2, ???,xn 是来自 N(μ,σ2) 的 iid样本， μ,σ2均未知，则 服从自由度为n-1的 t分布，并给出了这种t分布的一些分位数值。可以说，t分布的发现在统计学史上具有划时代的意义，打破了正态分布一统天下的局面，开创了小样本统计推断的新纪元，小样本统计分析由此引起了广大计科研工作者的重视，虽然 Gosset 中的证明存在着漏洞（最早注意到这个问题的是 Fisher，并 于 1922 年给出了此问题的完整证明）。 另外，我们注意到，当时许多统计学家在 Gosset 于 1937 年去世后，尚不知他就是 Student，有关这方面的资料陈希孺(2000)给出了非常 详尽的描述。 当随机变量 T~t(n)时,称满足P(T≤t1-α(n)) =1-α的t1-α(n)是自由度为n的t分布的1- α分位数.分位数t 1-α(n)可以从附表 4 中查到.譬如n=10,α=0.05,那么从附表 4 上查得t1-0.05(10)=t0.95(10)=1.812. 由于t分布的密度函数关于 0 对称,故其 分位数间有如下关系 譬如， 四、 几个结果 来自一般正态总体的样本均值 x和S2 样本方差的抽样分布是应用最广的抽样分 布，结合 前面讲的关于正态总体的有关性 质，我们有如下几个非常有用的定理. 定理 1.13 设x1,x2, ???,xn是来自正态总体N(μ,σ2) 的样本，其样本均值和样本方差分别为  则有  定理 1.14