数字信号处理第三章-1.ppt

数字信号处理Digital Signal Processing DFT是分析有限长序列的重要工具，是现代信号处理的桥梁。 DFT解决了频域离散化的问题，在信号处理的理论上有重要意义。 DFT 实现了多种快速算法，在信号实时处理的运算方法方面起核心作用，使谱分析、卷积运算、相关运算都可以通过DFT在计算机上实现。 * 作用和意义 第三章 离散傅里叶变换DFT 运用DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。 信号处理 DFT(FFT) 傅氏变换 离散量化 一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓，而一个域的非周期与另一个域的连续是相对应的。要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须都是周期的。 设x(n) 是一个长度为M的有限长序列，则定义的N点 离散傅立叶变换为: §3.1 离散Fourier变换的定义 其逆变换为： 式中 ,N为DFT变换区间长度。 一、定义 要求N≥M 二、DFT和Z变换、傅立叶变换的关系 设序列x(n)的长度为N， Z变换为： DFT为： 两者比较可知： x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。 X(k) 为x(n)的傅立叶变换在区间[0，2π]上的N点等间隔采样。 DFT为： DTFT为： DFT的结果与变换区间的长度N的取值有关，但其包络形状一致。 可见： 例: 若周期序列的周期为N, 取一个周期做N点DFT为X1(k), 取两个周期做2N点DFT为X2(k),试用X1(k)确定X2(k)。 表示其幅值为X1(k)的2倍且在X1(k)的两值之间插0。 例: 若x(n)是N长序列，其DFT为X(k), 将该序列补零到2N长,得到y(n),其DFT为Y(k)，求Y(k)与X(k)的关系。 习题9 Y(k)的抽样点数是X(k)的2倍， Y(k)的周期为2N，相当于在X(k)的每两个值之间插入1个其他的值（不一定为0），当k为2的整数倍时，Y(k)与X(k/2)相等。 x (n) 和X(k)均为有限长序列，但由于 的周期性，使得X(k)隐含周期性，且周期为N。对任意整数m，总有： 三、DFT的隐含周期性 所以有： 同理可以得到： 有限长序列x(n)和周期序列 的关系 周期序列 是有限长 序列 x(n) 的周期延拓。 有限长序列x(n)是周期 序列 的主值序列。 N-1 n x(n) 0 ... ... n 0 N-1 定义：从n=0 到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。 为了方便也表示为： 表示x(n)以N为周期的周期延拓序列 表示n对N求余 则有： 如果 m为整数 3 3 n/N=整数时，x（n1=0） n/N不等于整数时， x（n1=余数） 式中： 结论：有限长序列x(n)的离散傅里叶变换X(k) 是x(n) 的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数 的主值序列。 周期序列的离散傅里叶级数和DFT的关系 §3.2 离散Fourier变换的基本性质 一、线性 两序列都是N点时 如果 则有： 当 和 的长度N1和N2不等时，选择 为变换长度，短者进行补零达到N点。 先将 进行周期延拓 二.*循环移位性质 一个有限长序列 的循环移位定义为 1. 定义 这里包括三层意思： 再进行移位 最后取主值序列： n 0 N-1 n 0 n 0 n 0 取主值 N-1 N-1 N-1 周期延拓 左移2 3. 频域循环移位定理 则有： 如果： 2. *时域循环移位定理 则有： 设一个有限长序列为 是其循环移位，即： *例:有限长实序列 若X(k)为x(n)的6点离散傅立叶变换 求Y(k)的离散傅立叶反变换并画出图形。 m = - 4 *三.循环卷积定理 1. *时域循环卷积定理 有限长序列 和 ，长度分别为N1和N2，N=max[N1， N2] 它们的N点DFT分别为 如果 记作 则 求和变量为m，n为参变量。 或 时域循环卷积,频域相乘 P83证明 *步骤： 时域循环卷积,其序列的长度为N 0 m 时域圆周卷积过程 0 m 0 m 0 2 3 3 2 1 1 N-1 n 最后结果： 0 m N-1 0 n N-1 0 n N-1 m共移位N次， m 从0到N-1。 ⑦ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 线性卷积 5点循环卷积 N+M-1点=7 6点循环卷积 7点循环卷积 8点循环卷积 2. 频域循环卷积定理 如果： 则： 式中： 或 ＊ ＊ ＊ 四.复共轭序列的DFT 设 是