数学物理方法2-3.ppt

* 3.3 复变函数在环形区域中的幂级数展开 泰勒级数：在一个圆域内展开 收敛半径R：若R=0，函数只在该点解析； 若R为有限值，函数在某一圆内解析； 若R = ∞，函数在全平面解析。 例如：f(z) = 1/(1– z) 只能在 |z| 1 展开成泰勒级数，因为z =1是函数的奇点，不能在全平面把它展开成泰勒级数，但是在 |z| 1 区域，它又是解析的，那么能否在 |z| 1 的区域把 f (z)展开成级数呢？ 答案：能。但这个级数不是泰勒级数，而是洛朗级数。 这里涉及到函数在奇点附近的性质而把函数展开 成幂级数。 讨论：如果函数f(z)在以b为中心的圆环区域内解析，那么 f(z)能否用幂级数表示？ 一、洛朗定理 设f(z)在环形区域 R2 |z–b| R1内解析，则 f(z)可在环内 展开为洛朗级数 Cρ：环域内环绕内圆的任一曲线 证明：设z为环域内任一点，取ρ1、ρ2 ，且设 如图，圆Cρ1 及圆 Cρ2 围成一个闭通区域 ，z在其内。由复通区域的柯西公式得： (ξ分别在Cρ1 及圆 Cρ2 上取值 ) 第一个积分中： |ξ–b | |z –b | ，仿照求泰勒级数的方法， 有 第二个积分中： |ξ–b | |z –b | 令 –(n+1)=k，则 n=0 时：k = –1；n = ∞时： k = –∞ 上式变为： 其中： 说明： 洛朗级数中ak 积分表达式与泰勒级数 ak 的积分表达式相 同，但洛朗级数中。因为：高阶导数公式要求f(z)解析才成 立。而在此 f (z)仅在 R2 |z–b| R1 区域内解析； (2) 洛朗级数中有正幂部分： ——f(z)在b点的解析 部分，在|z–b| R1 内收敛，负幂部分： ——f(z)在 b点的解析部分，在|z–b| R2 内收敛； (3) f (z)的洛朗展开式唯一； (4) 洛朗级数中含有(z–b)的负幂项，这些项当时都是奇异的， 但展开中心b点不一定是函数的奇点。洛朗定理并未涉及展 开中心b点是否一定是函数的奇点的问题。 几种常用方法： 二、将环域内的解析函数展开成洛朗级数的方法与步骤 (1) 找出 f (z)的奇点； (2) 以展开中心b为圆心，按奇点为界划分展开区域； (3) 分区展开 f (z)。 1. 直接计算洛朗级数 ——积分便于计算时用此法 3. 利用两个绝对收敛级数的乘积。 2. 将有理式分解为部分分式，再按 展开。 4. 利用逐项求导或逐项积分。 例子：将 以 z = 0中心展开成幂级数。 (1) |z| 1 分析：展开中心 z = 0不是 f (z)的奇点，奇点为–1、2。 解： 的三个解析区域|z| 1, 1|z| 2, 2|z| ∞ ——无负幂项 (泰勒级数：解析区域为圆域) (2) 1 |z| 2 (3) 2 |z| ∞ 分析：z = 2为 f (z)的奇点之一，展开中心为奇点。 例：以z = 2为中心展开 为幂级数。 只需展开第一项： 解： 例：求函数 在0|z| ∞ 中的洛朗展开，其中t是参变量。 解：利用指数函数的展开式 因此 (2-3-1) (2-3-2) 得 对于固定的t，右边两个级数在0|z| ∞ 中都是绝对收敛的，可以逐项相乘，并用任意方式并项。为了得到乘积中的 某个正幂zn (n≥0)项，应取(2-3-2)所有各项而分别用(2-3-1)中 的k =l+n项去乘；为了得到乘积中某个负幂z–m (m≥1) 项，应 取(2-3-1)所有各项而分别用(2-3-2)中l = k+m 项去乘。这样 把 –m 改作 n，k 改作 l，则 其中 (当n 0) (当n 0) 在后一式中写 n 为–m，则有 Jn (t) 称为 n 阶贝塞尔函数。