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抛物线及其性质 1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质： 图形 参数p几何意义 参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔. 开口方向 右 左 上 下 标 准方 程 焦 点位 置 X正 X负 Y正 Y负 焦 点坐 标 准 线方 程 范 围 对 称轴 X轴 X轴 Y轴 Y轴 顶 点坐 标 （0,0） 离心率 通 径 2p 焦半径 焦点弦长 焦点弦长的补充 以为直径的圆必与准线相切 若的倾斜角为， 若的倾斜角为，则 3．抛物线的几何性质： (1)范围：因为p0，由方程可知x≥0，所以抛物线在轴的右侧， 当的值增大时，||也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：，焦点，准线，焦准距p． (4) 焦点弦：抛物线的焦点弦，,,则． 弦长|AB|=x1+x2+p,当x1=x2时，通径最短为2p。 4．焦点弦的相关性质：焦点弦，,，焦点 (1) 若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。 (2) 若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。 (3) 已知直线AB是过抛物线焦点F , (4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径． (5) 两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 5．弦长公式：,是抛物线上两点，则 6.直线与抛物线的位置关系　　直线，抛物线，　　，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k≠0时， Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线： 抛物线， 联立方程法： 设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出， 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 相交弦AB的弦长 或 b. 中点, ， 点差法： 设交点坐标为，，代入抛物线方程，得 将两式相减，可得 在涉及斜率问题时， 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，， 即， 同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有 （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 【经典例题】 1）抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章. 【例1】P为抛物线上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ） 相交 相切 相离 位置由P确定 【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是 .作PH⊥于H，交y轴于Q，那么， 且.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的 中位线，.故以 PF为直径的圆与y轴相切，选B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的. （2）焦点弦——常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的. 【例2】 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，求证： （1） （2） 【证明】（1）如图设抛物线的准线为，作 ， .两式相加即得： （2）当AB⊥x轴时，有 成立； 当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程： .化简得： ∵方程（1）之二根为x1，x2，∴. . 故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成立. （3）切线——抛物线与函数有缘 有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功. 【例3】证明：过抛物线上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0） 【证明】对方程两边取导数： .由点斜式方程： y0y=p（x+x0） （4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获. 例如：1.一动圆