第10次作业 - LSEC.DOCVIP

第10次作业 Leveque 书：习题 11.1, 11.3, 11.5(a) 11.1 Show that in solving the scalar conservation law with smooth initial data , the time at which the solution “breaks” is given by if this is positive. If this is negative, then characteristics never cross. Hint: Use from (11.11) , differentiate this with respect to x , and determine where becomes infinite . To complete , differentiate the equation (11.12) with respect to x. 解： 记 易知方程的解为 （1） 这里满足 （2） (1)中解两边分别关于x求偏导得 （3） （2）式两边分别关于x求偏导得 （4） 从（4）得带入（3），可得 在t前面系数小于0的情况下，当时 记最小时间 综上分析可知，若，则恒为有限值；若，则时，存在某点处的，此时特征线交叉，没有光滑解，原来由特征线决定的解（1）不再唯一。 11.3 For a general smooth scalar flux functions, show by Taylor expansion of (11.21) that the shock speed is approximately the average of the characteristic speed on each side （11.21） 解： 将在处做泰勒展开，得到 （5） 将在处做泰勒展开，得到 （6） 将在处做泰勒展开，得到 （7） 结合（6）（7）得 （8） （5）-（8）得到 故 11.5（a） 解： Burger’s equation 初值 特征线满足，所以在处会出现稀疏波，在处会出现激波。 激波波速为 而稀疏波的右边缘处传播速度为，故在某个时间稀疏波将会追上激波。 在稀疏波内部，解为，即 稀疏波与激波相交时间的确定： 对于激波 对于稀疏波 故 这样，时，解为 时激波位置确定： 由Rankine-Hugnoit跳跃条件得到 即 当稀疏波右边缘追上及激波时，由稀疏波特征线求出相应的位置Xc=2， 故C=2, .