不等式讲义-On a class of three-variable inequalities.pdfVIP

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2017-07-22 发布于浙江
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不等式讲义-On a class of three-variable inequalities.pdf

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On a class of three-variable inequalities Vo Quoc Ba Can 1 Theorem Let a, b, c be real numbers satisfying a + b + c = 1. By the AM - GM inequality, we have ab + bc + ca ≤ 1 3 , 2 therefore setting ab + bc + ca = 1−q (q ≥ 0), we will ﬁnd the maximum and minimum values of abc in 3 terms of q. If q = 0, then a = b = c = 1 , therefore abc = 1 . If q = 0, then (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 0. Consider 3 27 2 the function f (x) = (x − a)(x − b)(x − c) = x3 − x2 + 1−q x − abc. We have 3 1 − q2 2 f (x) = 3x − 2x + 3 1 + q 1 − q whose zeros are x1 = , and x2 = . 3 3 We can see that f (x) 0 for x2 x x1 and f (x) 0 for x x2 or x x1 . Furthermore, f (x) has three zeros: a, b, and c. Then 2 1 − q (1 − q) (1 + 2q) f = − abc ≥ 0 3 27 and 1 + q 2