现代控制理论-第三章 2 能控性.pdfVIP

第三章 线性系统的结构特性 3.2 系统的能控性 线性控制系统的能控性和能观性，是现代控制理论中两个非常重要的概念。 1960年美籍匈牙利人 R.E.Kalman 发表“控制系统的一般理论”等论文，引入状 态空间法分析系统，提出能控性、能观测性、最佳调节器和卡尔曼滤波等概念， 奠定了现代控制理论的基础。能控、能观性概念在刚提出来的时候，并未受到应 有的重视，但现在已成为控制理论中的基本概念。无论在分析或综合一个现代控 制系统时，总要研究一下，它是否能控与能观测。 现代控制理论，其数学模型采用状态方程，立足于状态变量法，包含最优控 制、最优估计、系统辨识等理论。最优控制以能控性为基础，一般而言能控才能 得到最优解；最优估计以能观性为基础。 以下的讨论，均假定系统为线性定常（LTI）连续系统。 1.系统能控性的含义及例子 系统的能控性指系统的输入U(t) 对系统的状态X (t) 的控制能力，即衡量系 统在U(t) 作用下其内部状态转移的能力。 以后会知道，能控性是系统的一种内在性质，是系统的结构性质。 例3-9 设 SISO 离散系统状态方程为 ⎡x (k +1) ⎤ −1 0 ⎡x (k ) ⎤ 0 1 1 ⎡ ⎤ 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ u(k ) ，X (0) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x (k +1) 0 2 x (k ) 1 1 ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 试分析系统的输入u(k ) 对系统状态X (k ) 的影响。 解：用递推法解系统的状态方程，得 ⎡x1(k ) ⎤ ⎡ (−1)k ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ k k −1 ⎥ x (k ) + + + − ⎣ 2 ⎦ ⎢⎣2 2 u(0) u(k 1)⎦⎥ 由上式可见，系统的第一个状态变量x1 ，无论u 取何值，永远不受u 的控制。 所以，系统的状态不能通过它的输入u 的作用而转移到任意所需的状态上去。 例3-10 见讲义P81 2.系统能控性的定义 设线性定常连续系统的状态方程为 ，其中 为 矩阵， 为 矩阵。 X (t) AX (t) +BU (t) A n ×n B n ×m 系统能控性的定义为： 如果有一个控制作用U(t) ，能在有限的时间 T 内， 把系统从任意初始状态 X (0) ≠0 ，转移到终了状态X (T ) 0 ,则称系统状态完全 1 第三章 线性系统的结构特性 能控，简称系统能控。若系统中有一个或一些初始状态不能在有限的时间T内， 在输入控制U(t) 的作用下转移到终了状态X (T ) 0 ，则称系统状态不完全能控， 简称系统不能控。 能控态，不能控态。 有限时间T，存在U(t)，状态能控，系统能控。 系统能达性的定义为： 若把系统初态规定为状态空间原点，即X (0) 0 ,终 了状态规定为状态空间中的任意一个非0有限点X (t) ，若存在一个控制作用U(t) , 能在有限时间T内使系统完成从初