对称分类在非线性偏微分方程组边值问题中的应用-物理学报.PDF

物理学报 Acta Phys. Sin. Vol. 63, No. 4 (2014) 040201 对称分类在非线性偏微分方程组边值 问题中的应用∗ 苏道毕力格 王晓民 乌云莫日根 (内蒙古工业大学理学院, 呼和浩特 010051) ( 2013 年8 月31 日收到; 2013 年11 月3 日收到修改稿) 研究了微分方程对称分类在非线性偏微分方程组边值问题中的应用. 首先, 利用偏微分方程 (组) 完全对 称分类微分特征列集算法确定了给定非线性偏微分方程组边值问题的完全对称分类; 其次, 利用一个扩充对 称将非线性偏微分方程组边值问题约化为常微分方程组初值问题; 最后, 利用龙格-库塔法求解了常微分方程 组初值问题的数值解. 关键词: 对称分类, 微分特征列集算法, 偏微分方程组边值问题 PACS: 02.30.Jr, 02.20.–a, 11.30.–j, 02.60.Lj DOI: 10.7498/aps.63.040201 面的研究还很少, 所以用对称群研究PDEs 边值问 1 引 言 题是对称理论应用的新研究领域. Lie 算法是确定对称的主要方法, 该算法将确 1873 年, 挪威数学家Lie1 为了统一和扩充求 定对称的问题转化为确定对应无穷小向量的问题, 解常微分方程的各类方法, 首次提出了 (偏) 微分 而该无穷小向量是由满足所谓确定方程组(DTEs) 方程(组) (PDEs) 的对称理论. 所谓对称是指作 的无穷小生成函数确定. 完成这个过程将涉及大 用于自变量和因变量空间上使PDEs 不变的单参 量、复杂的机械化计算, 并且传统的Lie 算法中未 数连续变换群. 20 世纪初, Lie 群理论开始受到 能考虑未知量的序关系, 导致计算机上的无穷循环 重视, 国内外研究者研究发展了对称理论, 提出了 及工作量大等许多困难. 研究发现, 微分形式的吴 Lie-Bäcklund 变换、条件对称、强对称、Lie 代数结 方法是有效克服 Lie 算法缺陷的方法之一. 所以特 构、Clarkson-Kruskal 直接法、条件相似约化及同伦 木尔朝鲁18 推广建立的吴-微分特征列集算法部 近似对称约化法2−9 等. 研究者还提出微分方程 分解决了上述Lie 算法存在的困难. 该算法主要考 有对称相应的可积性和Hamilton 结构, 而且, 对称 虑控制计算过程中符号堆积及易于在机器上实现 与Bäcklund 变换, Darboux 变换, Painlevé 分析也 的问题, 并已成功地应用在PDEs 的古典对称、非 有密切联系10−13 . 特别地, 文献[12, 13] 中给出了 古典对称、高阶对称、近似对称、势对称和守恒律等 用对称方法产生具有刘维尔可积性、双哈密顿结构 问题上, 促进了PDEs 对称理论的研究18−27 . 最 的方程族及各类精确解的方法. 目前PDEs 对称理 近我们基于吴-微分特征列集算法研究了对称方法 28 论和方法的研究在现代数学、物理和力学等学科中 在非线性PDEs 边值问题中的应用 , 并且将对称 29 有重要的理论和实际意义,