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第04讲预备知识场论2
第四 讲 场论初步 （2）
(Preliminary Field Theory)
主要内容： 1.散度
2.旋度
3.高斯-斯托克斯公式
4.正交坐标系
5.拉梅系数
1 向量场的通量和散度
1.1 通量 S a
在向量场a 中任取一有向曲面S ，法向量为n ，则曲 n
面积分： ds
Q d =⋅ dsa =⋅s a a n nds
∫∫ ∫∫ ∫∫ l
S S S
称为向量a通过曲面S 的通量(Flux) 。若a为流速v ，Q为流量。
1.2 散度
在向量场a 中任一点M 的邻域内取一个包含该点的任 ΔS
a
意封闭曲面ΔS ，外法向量为n ，体积为ΔV，当ΔV以任意
n
方式向M点收缩时，若极限： M
a ∫∫s ⋅d
lim
Δ →V 0 ΔV ΔV
存在，称其为a在该点的散度(Divergence) ，记作diva
在直角坐标系中:
∂a ∂a ∂a
x y z
diva + + ∇⋅ a
∂x ∂y ∂z
向量的散度是一个标量，表示单位体积内物理量通过其表面的通量。
diva0 ，表示物理量在该点向外散发，称该点有源 ；diva0 ，表示物
理量在该点向内吸收，称为有汇。
散度为零，称无源场，否则称为有源场。|diva |称为源或汇的强度
Q = 0 (无源) Q 0 (负源、汇) Q 0 (正源)
1.3 散度基本运算公式
a ∇c (⋅ )ca ∇⋅
a a∇(⋅ )ϕa ϕ∇⋅ +∇ϕ⋅
a b a(∇⋅ )b ± ∇⋅ ±∇⋅
2 向量场的环量和旋度
2.1 环量
在向量场a 中任取一有向闭曲线，则曲线积分：
Γa⋅ l d
∫
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