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数学建模基础 第四讲第四讲第四讲第四讲: : 多变量优化模型多变量优化模型多变量优化模型多变量优化模型 水鹏朗水鹏朗 雷达信号处理国防科技重点实验室 4.14.1 多变量优化建模举例多变量优化建模举例 •一家彩色电视制造商计划推出19-英寸和21英寸两款LCD平板 电视机电视机, 制造商建议零售价格制造商建议零售价格(MSRP)(MSRP)分别是分别是$339/$339/台和台和$399/$399/台台. 制造商给销售公司的价格是每台$195和$225,附加$400,000的 固定费用固定费用((代理费代理费)). • 市场环境对销售影响 (1) 对于每款电视机，每多卖一台该款电视机平均销售价格 降1美分; (2) 21寸的每卖一台,19寸的平均售价减小0.3美分; (3) 19寸的每卖 台 21寸的平均售价减小0 4美分 (3) 19寸的每卖一台,21寸的平均售价减小0.4美分; 问题: 制造商两款电视机应该各生产多少台？ 销售商获利最大 19英寸LCD电视机 21英寸LCD电视机 雷达信号处理国防科技重点实验室 4.14.1 多变量优化建模举例多变量优化建模举例 符号化符号化 ((变量变量)) 基本假设基本假设 ((变量间相互关系变量间相互关系)) ss--199寸寸TV售出台数售出台数 p 339 0.01s 0.003t t21寸TV售出台数 q 399 0.004s 0.01t p19寸售出价格 q21寸售出价格寸售出价格 RR psps qtqt C获得这些电视机的成本 C 400000 195s 225t R 销售这些电视机的总收入 R销售这些电视机的总收入 P R C P销售这些电视机的总利润 s 0 •黑色变量-决策/优化变量 t 0 •蓝色变量-中间变量 •红色红色变量变量-优化目标优化目标 雷达信号处理国防科技重点实验室 4.14.1 多变量优化建模举例多变量优化建模举例 优化模型优化模型 max P(s,t) (339 0.01s 0.003t s (399 0.004s 0.01t )t (400000 195s 225t)} subject to s 0,t 0 目标函数的图像 目标函数的等高线 雷达信号处理国防科技重点实验室 4.24.2 多元函数极值点的判断准则多元函数极值点的判断准则 设f (x), x [x , x , , x ]T 是一个至少二阶可微分的n元函数 (充分条 1 2 n 件件 :所有的二阶偏导数存在且连续所有的二阶偏导数存在且连续)),f(f(x))的梯度向量和的梯度向量和HHessiian矩阵矩阵 定义为: f (x) 2 f (x) 2 f (x) 2 f (x)     