线性代数理论中两个典型命题的正误推论研究.pdfVIP

16 ：句 致学研究 Vo1．1l，No．6 STUDIESIN C()LIEGEMATHEMATICS NOV．。2008 线性代数理论中两个典型命题的正误推论研究 刘学鹏 徐传胜 (临沂师范学院 山东临沂 276005) 摘 要 针对线性代数理论中两个典型命题．研究相似矩阵的特征多项式、特征根及特征 向量 的关系，指出相 似的矩阵尽管有相同的特征根，但却不一定有相 同的特征 向量；正确给出相似 的矩阵特征 向量之问的关系．此外， 对矩阵的相似关系特有 的反身性、对称性和传递性进行多角度 引申和讨论． 关键词 特征根 ；特征 向量 ；正定矩阵；对称矩阵 中图分类号 O151．2 A 一 B 一 匮_]～r三三]匮—]一匿22] 一 (1，0，O)； 屉一 (0，1，0)， 一 (0，0，1)． 事实上 ，可以推得 “，与 (一 1，2，3)具有关系 =P_。口。； =P_。口； 一P～a。．从中获得 * 收稿 日期：2007—03—03；修改稿 ：2007—09—04． 基金项 目：吴文俊始绸之路天元基金项F1，国家 自然科学慕金项 目 18 高等数学研究 2008年 l1月 即 (b-- a)! 1(6。 一 “)(1n6— 1nⅡ)， 亦即 b-- a 1nb na 2 ． (6) ～ 1 、 。 将 (5)、(6)联合起来，就是(1)式． 参考文献 [1]FrankBurk．IheGeometric，Logarithmic，andArithmeticMeanInequality．FheAmericanMathematical MonthlyD-]．1987，94(6)：527—528． [2]林源渠，方企勤．数学分析解题指南[M]．北京：北京大学出版社，2003：371—375． [3]李德新．函数均值不等式及其应用[j]．高等数学研究，2006，9(6)：3l一56． [4]张国铭．关于Schwarz不等式等号成立的充要条件 [J]．数学通报，1996(11)：45一-t6． [5]东北师范大学数学系微分方程教研室．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，1982：122—124 [6]同济大学数学系编．高等数学(上册)[M]．第六版．北京：高等教育出版社．2007：325—340． ()●()●) ● ●0 ● ‘ ●(●o ‘)●(… ●●() ●(… ‘ )● ‘)● ●() ●( J● )0(●()● ’，●()●o ●C ●o ●(●(●( ●(●( ●( 旧 ●0 ●()●) ●(岫 … ● 注 这个推论是错误的，反例如下． 设A=(；)，则A正定，取P一(一：)，则 B—p--IAP一--1] 不是正定矩阵． 一 个正确的推论是 推论 2．2 设 A为正定矩阵，且A与B合同，则 B也是正定矩阵． 由于合同的实对称矩阵具有相同的正定性，则此结论不证 自明． 对于命题 2．人们有时会给出如下的引申。即 推论 2．3 设 A，B均为正定矩阵，则 AB也是正定矩阵． ， 1 2、 f1 31 注这是错误的例·如设A：=：(25)．B—f311}贝0AB都是正