Frenkel-Kontorova模型梯度系统的强单调性.pdfVIP

科技信息 。科教前沿o SCIENCE＆TECHNOLOGY INFORMATION 2008年 第2期 Frenkel—Kontorova模型梯度系统的强单调性 马 昕’ 尤 璞 (1．南京审计学院金审学院 江苏 南京 210029；2．江苏省烟草公司南京市公司经济信息中心 江苏 南京 210005) 【摘 要】本文介绍了Frenkel—Kontorova模型梯度系统，提出该系统的强单调性的定义，并证明当外加驱动为任意连续函数的情况下 Frenkel—Kontorova模型梯度系统是具有强单调性的。 【关键词】Frenkel—Kontorova模型梯度系统；强单调性；有界宽度；平均间距 1．引言 定义2：设 = --， -·)∈Rz， (y 一， ，…)∈R ，在 上定义 早在 1938年 Y．I．Frenkel与T．Kontorova提出一个非常简单的 以下偏序： 一 维模型Ⅲ：将许多小球构成的链置于一个周期势场中，最近邻的小 若对任意i∈Z，有xi≤ ，则称 ≤y。 球之间用弹簧连接。后人称此为Frenkel—Kontorova模型。而今 若 ≤y且x#y，则称xy。若y≤ ，则称 ≥y。若yx，则称xy。 Frenkel—Kontorova模型成为非线性物理学中最重要的模型之一，该模 若对任意 ∈Z，有 c( ，则称 (y。 型及其推广形式被应用于许多物理现象和系统的研究中，例如位错动 定义3：设x(t)，y(￡)为方程(1．1)的两个解，其初值分别为若x(0)，Y 力学、耦合单摆、电荷密度波 ]、Josephson结阵列 】、滑动摩擦、介质摩 (o)，如果x(0)≤y(O)，并且对任意t0都有x(t)≤y(￡)成立，称方程(1．1) 擦学 】、自组织临界性 等等。 具有弱单调性。如果 (O)y(O)，并且对任意t0都有 0)y(￡)成立，称 Frenkel—Kontorova模型在数学上表示形式如下：用 = )，魁∈R， 方程(1．1)具有强单调性。 ∈S其中s是一个连贯整数的集合(个数可能为有限个，可能为无限 下面我们给出在外加驱动力为非常数的情况下，Frenkel— 个)，置代表第 个粒子所在位置，则系统的总势能为 Kontorova模型梯度系统具有强单调性的证明。 定理：在积拓扑的序列空间中，对任意w和P，在宽度≤ ，平均间 )=22^ ， )一 ￡ 距为P的情况下，Frenkel—Kontorova模型梯度系统 (1．1)具有强单调 f E S 其中函数h ：R 是c2等度连续的，且有以下特征： 性。 证明：第一步，先证明系统(1．1)任一解 (￡)的线性化系统有以下 (1)hi ， ) +1， +1) (2)存在c0，使得h112≤ (h的下标f表示对第 个自变量求偏 结论：当 (O)io时，对于任意t0，均有 (￡)1o，其中O为(O，O，…，O， 导)，除了最右端的i=N，此时 是只含有 的函数。 … )∈R 。 (￡)的线性化系统为： 在本文中，我们讨论的是Frenkel—Ko