一个字条的矩阵特征值得测量.docVIP

数学研究杂志博览会 2010年7卷 30卷4期 751页到755页 一个字条的矩阵特征值得测量 王之镇 吴晓林 夏丽 中国上海 上海师范大学 应用数学系 摘要 本文主要研究了厄密共轭矩阵P和的特征值且我们提出了等价情况的特征值, 关键词 特征值 矩阵乘积 正交向量 厄密矩阵 引言 在矩阵理论中,在许多成果中出现过,这样的矩阵还出现在最优控制领域和滤波理论的电致发光产生的Riccati代数方程中.重要的是分析和综合的解决这个方程的边界估计线性系统.做大量的工作,尤其是对痕迹的界限和极端矩阵乘积的特征值.在文献3-11中一些跟踪的上限和下限提出了解决方案的方程.在4中得到矩阵产生的一些特征值不等式.在这些成果中,一个重要的词是的特征值.但是这个类矩阵没有形如这类矩阵的属性.众所周知当时,的特征值和的特征值相等.然而,如果是不正确的.出于这个原因我们应该回过来研究的特征值和的特征值的进一步关系. 预备知识 和分别表示实数集和复数集,和分别表示和的元数组. 复数域上所有行列的矩阵可表示为,如果,矩阵可缩写为.矩阵的秩表示为符号表示单位矩阵. 定义1已知,如果一个量和一个非零向量满足方程那么叫做矩阵的特征值,叫做矩阵关于的特征向量. 定义2矩阵叫做埃尔米特矩阵如果并且矩阵的埃尔米特伴随矩阵为,定义. 下面的结果因庞枷莱分离定理而闻名 定理1 为埃尔米特矩阵,,矩阵有正交行,如果的特征值按递减的顺序排列,我们得到 3 主要结论 在本节部分我们将研究埃尔米特矩阵的特征值和当时的特征值之间的关系. 引理1如果是矩阵的一个特征值,那么是矩阵的一个特征值.并且如果是矩阵的一个特征值,那么是矩阵的一个特征值. 证明 因为矩阵和矩阵有相同的非零特征值,所以结果是显然的. 例1 令 我们得到 , 矩阵的所有特征值是 矩阵的特征值是 矩阵的特征值是 引理2 矩阵的秩等于矩阵的秩,即 引理3 已知矩阵那么是矩阵的一个特征值当且仅当 引理4 已知是复数域上的数,那么 ⑴ ⑵当且仅当关于方程组有非零解. 证明 ⑴结论满足下面的关系 ⑵因为当且仅当有的非零解, 另外后者与关于方程组有非零解是等价的.结论得证. 定理1 是埃尔米特矩阵的一个特征值,矩阵则 ⑴是矩阵的一个特征值当且仅当； ⑵是矩阵的一个特征值当且仅当存在一个非零的满足 ⑶是矩阵的一个特征值如果 证明 ⑴充分性 存在一个非零的满足我们得到并且 又因为且 得到 所以是矩阵的一个特征值. 必要性 由方程可知 由引理2,我们得到 并且这样就得到 并且 所以我们得到. ⑵由引理4 显然⑵与⑴是等价的. ⑶因为且 得到由引理3,是矩阵的一个特征值. 例2 矩阵与例1中的相同, 直接计算得到 所以不是矩阵的特征值,2肯定是矩阵的特征值. 事实上 且的特征值是 注 定理1中的⑶是充分的,而非必要的. 如 那么 我们得到且 定理2 假设是艾尔米特矩阵,则 ⑴如果是矩阵的特征值,且那么存在一个非零的满足但是不是矩阵关于特征值的特征向量. ⑵如果是矩阵的特征值,满足那么是矩阵关于特征值的特征向量. 证明 ⑴是矩阵的特征向量的正交集,且 得 我们得到 但是不是矩阵关于特征值的特征向量. ⑵因为是矩阵的特征值且由定理1,给定一个非零 满足即且也就是 则是矩阵关于特征值的特征向量. 4 结论 本文研究了当艾尔米特矩阵的特征值与矩阵的特征值间的关系.一个定理证明了当时 在这种情形下,矩阵和矩阵不完全等价.实施上,它是不正确的,庞枷莱分离定理给出对于矩阵与其特征值是不等价的.我们给出了如果时的几种的等价情况.本文的结论不仅具有理论意义还有计算的用途. 参考文献 [1] BROCKETT R w .有限维线性系统[M]。威利,纽约,1970年. [2] 角R,约翰逊C R矩阵分析[M].剑桥大学出版社,北京,1985. [3] 兴魏,张庆龄、王奇艺。跟踪前往一个通用平方矩阵乘积[J].2000年,45(8):1563-1565. [4] 张F、藏问,为矩阵特征值ineaualites[J],2006年, 51(9):1506-1509. [5] 王建民的原著