chapter04.1-3微分中值定理及应用.pptVIP

Chap 4 微分中值定理和导数的应用 Chap 4 －1 微分中值定理 Chap 4 －2 L’Hospital法则 Chap 4 －3 Taylor定理及其应用 * * Rolle (1652—1719) Lagrange (1736—1813) Cauchy (1789—1857) 定义 设 f : U(x0,?) ? R, 若对?x? U(x0,?), 都有 f (x0) ? f (x) 则称 f (x0)为 f 的极大值, 点x0为 f 的极大值点. 思考 极值点与最值点的关系？ 一. Fermat引理 试一试 极小值, 极小值点, 极值，极值点. 区间内部的最值点一定是极值点. Fermat引理 设 f 在点x0取极值, 且f 在点x0可导, 则 f (x0)=0. 几何意义 若曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))是局部最高点或最低点, 且此点有不平行于y轴的切线, 则切线必平行于x轴. 驻点 若f (x0)＝0，则称x0为函数 f 的驻点. 思考 驻点与极值点的关系？ 考察 y = x3和y = |x|在x = 0处的情形. Fermat引理： 可导的极值点必为驻点. Darboux定理 设 f ?D[a, b], 且f +?(a) ?f ??(b) 0, 则???(a, b)使 f ?(?)=0. 导函数有介值性！sgn(x), x?[?1, 1]不是任何函数的导函数. 设 f (x)?C[a, b]?D(a, b), 且 f (a) = f (b), 则??? (a, b)使得 f ?(?) = 0. 二. Rolle定理 a b ? x y 几何意义 高度相同的一段曲线，若除端点外处处有不平行于y轴的切线, 则至少有一点的切线平行x于轴. 三条件 闭区间上连续, 开区间内可导, 端点函数值相等. 三. Lagrange定理 思考 Rolle定理的条件f (a) = f (b)去掉后，结论如何？ 定理 (Lagrange) 设 f ?C[a, b]?D(a, b), 则??? (a, b)使得 A B P a ? b y = f (x) x y 几何意义 弦AB的斜率 曲线在P点切线斜率 f (?). Lagrange中值公式 f (b) – f (a) = f (?)(b ? a) (a b也成立). 有限增量公式 f (x0+?x) – f (x0) = f (x0 +??x)?x, ??(0, 1) 推论1 若 f ?D(I), 且 f (x) ? 0, 则 f (x) ? C. 推论2 若?x ?I, f (x) = g(x), 则 f (x) – g(x) ? C. 思考 与可微定义 f (x0+?x) – f (x0) = f (x0)?x +o(?x)的差异？ 推论3 若?x ?I, f ?(x) 0, 则 f (x)在I上严格递增. 四. Cauchy定理 设 f , g?C[a, b]?D(a, b), 且?x?(a, b), g(x)?0, 则???(a, b)使 当g(x) = x时, 变为Lagrange定理! 问题 对 f , g 分别应用Lagrange定理可否得到证明？ 几何意义 设 , t?[a, b]为曲线参数方程. 为端点弦的斜率； 参数为?点处切线斜率. 五. 中值定理的应用 1. 证明“???… 适合…”的命题, 或方程根的命题. 方法 构造合适辅助函数, 使其导数与要证等式(方程)一致(接近), 再应用中值定理. 例1 证明方程 恰有一个实根. 例2 设f ?C[0, 1]且在(0, 1)内二阶可导, 过点A(0, f (0))和点 B(1, f (1))的直线与曲线y = f (x)相交于点C(c, f (c)) (0 c 1). 证明：???(0,1)使 f ?(?) = 0. (2009全国大学生竞赛试题) 例3 设 f (x)?C[a, b]?D(a, b), 且 f (a) = f (b) = 0, 证明: ???(a, b)使 f (?) + f ?(?) = 0. 2 证明不等式—— 常应用Lagrange中值定理! 例4 试证: x 0时, 例5 设e ? a b, 求证: ba ab. (