极限从研究一个问题（函数）开始.PDFVIP

L2 2.1, 2.2 極限(Limit)的定義 用圖例說明極限、左極限和右極限 極限從研究一個問題(函數)開始 2 We begin to study the limit by looking at some function f(x)=x . Question:What happens to f(x) when x get to close 2 ? 口語：當x 靠近2 的時後，f(x)會怎麼樣？ Def(Definition):將此問題記成lim(x→2)f(x)=? 這個問題是一個極限的問題，limit 極限，對函數考慮極限，對自變數 x 靠近2 ，對f(x)的考慮？ 口語跟數學如何銜接，把口語寫成一個式子，這個式子代表這個問題， 像lim(x→c)g(x)? ，當x 靠近c 的時後，g(x)會怎麼樣？ 極限本身是一個式子，是一個事情一個現象。 研究這個答案我們從圖形看起，先從概念開始。 第一個圖形 y y=x^2 4 O 2 x 當x 走到2 時 ，有兩種走法，可以從2 的右邊(x→2+) ，或2 的左邊(x →2-) ，其函數值f(x)會趨近4 ，(趨近的意思，跟4 要多靠近有多靠近) ， 趨近是一個概念。 L2 2.1, 2.2 極限(Limit)的定義 用圖例說明極限、左極限和右極限 Def:將此問題與此答案(其函數值f(x)跟4 有多靠近，是走出來的) ，記 成lim(x→2)f(x)=4 eg.lim(x→ 3)f(x)=− 5 ，這是一個永不停止現象 ，跟− 5要多靠近有 √ √ √ 多靠近，它永遠不會走到這個數，卻跟這個數不可分離。 第二個圖形 ，圖形不包含(2,4) ，在x=2 沒有定義 ，換句話說此函數只 定義在不等於2 y y=x^2 4 O 2 x By the way 什麼叫函數(function) ？構成函數三大要素：定義域x 、對應 域f(x) 、如何對應。 定義域上的每一個點，在對應域可以找到一個點跟它對應。 f:A→B by f(x)= f(x)是函數值、f(x)的集合是值域。 Q:lim(x→2)f(x)=? A:lim(x→2)f(x)=4 為什麼這兩個圖形不一樣，答案一樣？原因是，是問x 逼到2 ，它從 來不會走到，拿掉x=2 沒關係。討論x→2 的極限時與函數在該點x=2 時 ，有無定義無關。函數在2 沒有定義，還是可以問lim(x→2)f(x)=? L2 2.1, 2.2 極限(Limit)的定義 用圖例說明極限、左極限和右極限 第三個圖形 請問這個圖形在講什麼？在x=2 時，定義成8 。 y y=x^2 8 4 O 2