辅助函数的构造.pdfVIP

构造辅助函数法 介值定理：   a b, f (a ) f (b )  设函数(f )x 在闭区间 上连续， 且 ， f (a ) f (b )  至少存在一 则对介于 与 之间的任意一个数 ， ( ,a)b 使得(f )  . 点 ， 一般来说，命题中涉及闭区间上连续函数， 但不涉 会考虑利用介值定理或零点定理. 及可导， 如果证明中 缺少区间端点的函数值的性质， 要考虑利用最值定理后, 再利用介值定理. f (x ) [ ,a ]b x a [b, ] t 0i ( 1, 2, n,)  例 1.设 在 上连续， i ，i ， n 且ti 1 [ ,a]b i 1 ，证明：至少存在一个 ，使得 n f ( ) t f ( x ) i i i 1 分析： 命题中涉及闭区间上连续函数，但不涉及可导， n t f x( ) i i 考虑利用介值定理. i 1 是一个常数， f (x ) 但命题中缺少 在区间端点的函数值的性质， 故考虑先用最值定理, 再用介值定理. f (x ) [ ,a ]b 证：因为 在 上连续， M m、 x a[b, ] m f x ( ) M 所以 ，使得对 ，都有 ， x a [b, ] t 0i ( 1, 2, n, )  因此，当 i ， i 时，有 n n n m t m t f x( )  t M M i i  i i