钱伟--组合初步.docVIP

组合初步 一、几个基本原理 1.有个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发，有多少种不同的结对方式？ 2.在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组有多少个？ 3.平面上给定5个点。这些点两两之间的连线互不平行，又不垂直，也不重合，从任何一点开始，向其余四点两两之间的连线作垂线，如果不计已知的5个点，所有这些垂线间的交点数最多是多少个？ 4.整数的排列满足：每个数或者大于它之前的所有数，或者小于它之前的所有数，试问有多少这样的排列？ 5.设一个圆分成共个扇形。用种不同的颜色对这个扇形着色 ，每一个扇形着一种颜色，相邻的扇形着不同的颜色，共有多少种不同着色方法？ 二、排列组合 6.（1）有8个人围圆桌就餐，问有多少种就座方式？如果有两人不愿坐在一起，又有多少种就座方式？ （2）4男4女围圆桌交替就座有多少种方式？ 7.由4颗红色珠子和4颗黄色珠子可以串成多少种不同花色的珠环？ 8.用字母A、B和C组成的五个字母的符号，要求在每个符号里，A至多出现2次，B至多出现1次，C至多出现3次，求此类符号的个数。 9.为集合的一个排列，一个元素，如果满足，则称之为的一个不动点，令为的无不动点的排列个数，为恰好有一个不动点的排列的个数，求证： 10.将展开合并同类项后共多少项？ 11.方程的非负整数解共多少个？ 12.从中取出三个数，使满足，有多少种不同取法？ 13.甲、乙两人参加竞选，甲得张选票，乙得张选票（。问在对张选票逐一唱票的过程中，甲得票数始终领先于乙得票数的记录有多少种可能？ 14.戏院票房前有人排队买票，每张票的价格为5元，其中有人各持一张5元的纸币，另人各持一张10元纸币，售票处没有零钱找补。问：使大家都顺利买票，不致发生找补零钱困难的排队方法有多少种？ 三、组合计数综合 15.在中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？ 16.在由若干南方队和北方球队参加排球单循环赛中，已知南方队比北方队多9支，所有南方队得到的分数总和是所有北方队得到的分数总和的9倍（每场比赛胜者得一分，负者得零分）。证明：循环赛结束后，某支南方队积分最高。 17.设计一种为一维数轴的全体实数染色的方案，使得数轴上任意两个相距为的点都不同色，要求使用颜色最少。 18. 30个人排成矩形，身高各不相同。把每列最矮的人选出，这些人最高的设为；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为。 （1）是否有可能比高？ （2）和是否可能相等？ 19.某次考试共有333名学生做对了1000道题，做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀，考场中每人做对题目数不全同奇偶。问：不及格者与优秀者哪个多？ 20.对正六边形的边和所有对角线染色，任意三角形三边染色不同，任意两组三角形染色方式不同，求至少要染多少种颜色. 21.长为L的木棒（L为整数）可以锯成长为整数的两段，要求任何时刻所有木棒中得最长者长度严格小于最短者长度的2倍。例如长为4的木棒可以锯成2+2两段，而长为7的木棒第一次可以锯成3+4,第二次可以再将长为4的木棒锯成2+2，这时2+2+3三段不能在锯。问：长为30的木棒至多可以锯成多少段？ 22.为平面上个点的集合，对于S中任意一点A，S中至少有个点到A的距离相等。证明：。 23.设，两个自然数集合， 两集合①，这里相等计元素的重数，即如果元素S在①的左边出现次（用种方法表示成的形式）次。证明存在自然数，使。 24.圆周上有1600个点，依逆时针方向标号为1,2，…，1600，它们将圆周分成1600个间隙。今选定某一点染成红色，依次按如下规则，逐次染红其余的一些点：如果第号点被染红，则可按逆时针方向转过个间隙，再将所到达的那个端点染红，如此继续下去。试问圆周上最多可以得到多少个红点？证明你的结论。 四、二项式定理 25.求的展开式中得常数项。 26.的所有形如的因子之和为多少？ 27.设的整数部分和小数部分分别是和，求的值。 28.设，L是非负整数，求证： 能被整除。 29.设数列定义如下：。 如果是大于5的素数，求证：。 30.求证：对任意的正整数必可表示成的形式，其中。 五、概率 31.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 32.某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 概率 一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 个元件，每个元件正常工作的概率为，，若有超一半的元件正常工作，则系统正常工作，求系统正常工作的概率，并讨论的单调性。 34．投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷次不连续出现三次正面向