波动方程求解法1.pdfVIP

第四章 双曲型方程 第1节 Duhamel 原理 1.1 Cauchy 问题 考虑如何求解下面的初值问题： ⎧ ∂2u 2 ∂2u u a f x t t x ⎪⎪ ∂t2 − ∂x2 ( , ) ( =0, −∞ ∞), (1) ⎨ u x x ⎪ ( ,0) ϕ( ), ⎪ ut (x,0) ψ(x), ⎩ 上面的定解问题可分解为如下两个定解问题： ⎧ ∂2u1 2 ∂2u1 =− = −∞ ∞ ⎪ u1 2 a 2 0 (t 0, x ), ⎪ ∂t ∂x (II ) ⎨ u1(x,0) ϕ(x), ⎪ ⎪ u1t (x,0) ψ(x), ⎩ ⎧ ∂2u2 2 ∂2u2 =− = −∞ ∞ u a f x t t x ⎪ 2 2 2 ( , ) ( 0, ), ⎪ ∂t ∂x (III ) ⎨ u2 (x,0) 0, ⎪ ⎪ u2t (x,0) 0, ⎩ 定解问题解u为： u u +u . 1 2 齐次化原理 本小节先考虑如何求解非齐次的自由振动问题： ⎧∂2u 2 ∂2u a + ( , ) ( 0, −∞ ∞), ⎪⎪∂t2 ∂x 2 f x t t x (2) ⎨ ( ,0) 0, u x ⎪ ⎪ ( ,0) 0, u x ⎩t 齐次化原理, 其基本思想是把非齐次方程的求解问题 转化为相应的齐次方程的情况来处理, 从而可以直接 利用前面有关齐次方程的结果来求解. 若 ω(x ,t;τ) 是定解问题 ⎧∂2ω 2 ∂2ω ⎪ 2 a 2 (t =τ), ⎨∂t ∂x (3) ⎪ (x , ; ) 0 (x, ; ) f (x , ), ω ττ ，ω ττ τ ⎩ t 的解(其中τ为参数), 则 t u(x ,t) ∫ω(x ,t;τ)dτ (4) 0 就是定解问题(2)的解. 利用含参变量积分的求导公式：