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波动方程能量积分1.pdf
第四章 双曲型方程 第5节能量积分、惟一性和稳定性 关于波动方程解的稳定性和惟一性可利用能量积分 估计. 5.1 能量积分： 情形1：第一边值问题 ⎧∂2u 2 a u 0 (t 0, (x , , x ) ), − Δ = ∈Ω ⎪ 2 1 n ⎪∂t ⎨ (5.1) u x ϕ x u x ψ x x x ( ,0) ( ), ( ,0) ( ),( , , ) ∈Ω ⎪ t 1 n ⎪ u 0, Γ× ∞ ⎩ [0, ) Rn . 其中Ω⊂ 有界区域，边界为Γ 其能量积分为 1 2 2 2 ( ) ( | | ) (5.2) E t u =+a ∇u dx dx 2 ∫ ∫ t 1 n Ω n 其中∇u=(u , ,u ), | ∇u |2 ∑u2 . x1 xn xi i 1 现以n=1 ，即弦振动方程为例, 来说明能量积分的意义. (x ,x +Δx ) ρdx 在小弦段 上, 该弦段的质量为 ， ∂u(x,t) 1 2 弧段的速度为 ，它具有的动能为 ρu dx. 2 t ∂t 又由于弦段的张力为T, 该弦段伸长的长度为 2 1 2 1 1 , +u − ⋅dx ≈ u dx ( x ) 2 x 1 2 2 T 它具有的位能为 Tu dx. 注意到 a 。 2 x ρ
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