直线型经验公式和最小二乘法.docVIP

直线型经验公式及其最小二乘法的应用 杨国华 （甘肃畜牧工程职业技术学院 733006） 在工农业生产和科学实验中，常常需要根据观察或实验所得两个变量的一些对应值（称为实验数据）来求出这两个变量之间的函数关系的近似表达式，这种借助实验数据建立的两个变量之间的关系式叫做经验公式。如果这种经验公式是二元一次方程，因其图像为直线，故称为直线型经验公式。 下面介绍求直线型经验公式的一般方法。 一、选点法 例1 某农业大学的学生测得某种小麦的植株株高与生长周数的数据资料如表1： 表1 试建立株高关于生长周数的经验公式。 解决这类问题，首先要确定经验公式的类型。也就是要确定是直线型还是曲线型。 根据实验数据资料，把各组对应的数据作为坐标平面上点的坐标，并画出这些点，由这些点构成的图形叫做散点图，根据散点图可以初步确定经验公式的类型。此例的散点图如图1所示。从图上可以看到，各点虽然不是很严格地在一条直线上，但是，它们大致分布在一条直线上或者此直线的周围。所以，可以建立直线型经验公式来近似表达小麦株高和生长周数之间的的内在联系和相关规律。 根据散点图，有透明直尺的边缘在这些点之间反复来回移动，使它尽量靠近或者通过大多数点，然后画出直线，再在直线上选出两个点，例如：（2，13）、（5，33），把这两点的坐标代入直线的两点式方程，得 化简后，就得直线型经验公式 由上式可见，当小麦的生长周数每增加一周，大豆株高平均增长6.66cm. 为方便，我们定义实际观察得到的数据为观察值。同时，分别用和表示观察值和估计值。这样，可以把经验公式改为 由公式分别计算出的对应值，并填表得表2。 表2 上面这种从散点图中选择适当的两点来求直线型经验公式的方法，称为选点法。选点法的计算工程一般比较简单省时，但因只用了资料中的两个点的数据，再加上选点的任意性，大多数情况下，近似程度不太理想，所以，我们仍然还需要一种新的建立直线型经验公式的更好办法。 二、最小二乘法 在农业科学研究中，一些变量之间存在着相互联系、相互制约的关系，为了揭示这些变 量之间的关系，找出规律，就必须得到函数解析式，即最佳模型。要直接解决这些间题，十分困难，在这里，首先假设结论成立，应用逆向思维方法，确定函数模型，应用普通最小二乘法就能很好地解决这类间题. 最小二乘法虽然在数据处理方面具有显著的效果,但如果使用不当会导致很大的误差,甚至错误的结果.因此,在应用时必须注意以下几个问题: (1) 慎重选择拟合关系式 在实际问题中,适当选择拟合关系式是一项十分谨慎的工作,它将直接影响计算的工作量和结论. (2) 自变量的选择 在实际工作中,对一组实验数据按不同的拟合形式,结果会不一样.特别注意当两个变量都有一定误差时,应当使用双变量最小二乘法进行处理,否则可以使用单变量最小二乘法. (3) 加权最小二乘法 此法是应用于实验测量值非等精度的情况下的拟合方法.它不同程度的消除误差因素,结果更准确可靠. 设拟合函数为,当值取时的实测值为,取.加权偏差平方和 , 式中为个实验点的权重因子.选取合适的权重因子可获得高精度的拟合参数. 例2 已知某种材料在生产过程中的废品率与某种化学成分有关。下列表中记载了某工厂生产中与相应的的几组数值。 表3 我们要找出对的一个近似公式。 解 把表中数值用表格表示出来，发现它的变化趋近于一条直线。因此我们选取的一次式来表达。最好能选到适当的，使下面的等式 都成立。实际上是不可能的，如何，代入上式都会发生误差。下面找， 使上面各式的误差的平方和最小，即找到，使 最小。这里讨论的是误差的平方即二乘方，故称为最小二乘法。现在转向为一般的最小二乘法问题： 实系数线性方程组 可能无解。即任何一组实数，，.......,都可能使 不等于零。 我们设法找到实数组，，...，使之最小，这样的，，...，称为方程组的最小二乘解