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构造奇次幻方的一种方法 杨富锋 南京理工大学 摘要：幻方是古老的数学游戏经过几个世纪的发展形成了很多有趣的构造方法。本文利用行列式的性质和行列式的变换得到了构造奇数阶同心幻方原基的一种方法，利用排列组合对任意奇数阶幻方都能得到多种形式。 关键词： 幻方 原基 通式 幻方也叫纵横图，是最古老和最流行的数学游戏之一。即对个数构成的n阶方表中，每行，每列及对角线之和均相等。例如九宫（表1）每行，每列及对角线之和均为15，这是一个3阶幻方。2阶幻方是不存在的，对于其他的n阶幻方是能够构造出来的。如本杰明?富兰克林曾构造过许多有趣的幻方，de la Loubère在17世纪发现了一种构造奇数阶幻方的方法（见文献1）。对于偶数阶幻方构造可在Rouse Ball书中找到（见文献2）。本文利用行列式的性质及运算给出构造同心幻方（嵌套幻方，自中心向外辐射，去掉外层数字，内层仍为幻方）的一种方法。 表1 3阶幻方 表2 3阶幻方原基 表3 5阶幻方原基 1、幻方的原基 3阶幻方表1中每个元素均减去中心5，表1变为可看出每行之和，每列之和均为零，对角线之和也为零。那么就称具有这样性质的方表叫幻方的原基。这样的原基可以扩充到5阶，7阶，…，(2n+1阶，且数是成对出现的，中心为0。例如5阶幻方原基,显然 （1） 这样每行、每列之和及对角线之和均为零。且外围16个数成对出现。其中8个正数，8个负数，范围5到12和-12到-5之间的整数。由里到外为第一层，第二层那么m+1阶幻方原基第m层共有8m个整数所以第m层的整数个数为且4m个.最小的整数为(第m-1层有个整数，去掉中心的0，正负整数是从1开始且成对出现的，则第m-1层最后的整数是到，负数从-(的连续整数。 2．幻方原基的构造 首先介绍两个行列式的性质: 定理1： （1） 证明：记（1）式左边的行列式为n+1阶行列式，即: － +… +(-1)n+2xn上式右边诸行列式除外均按第一 ■ 推论：如令设D= 。。。。。。.（2） 定理2：每行元素的和及每列元素和都0，则各元素的代数余子式相等。 = 。又可证A的第一列元素的代数余子式,对任意■ 如果我们对原基取作行列式，则各原基的行列式为零，即各行均加到第一行，则第一行全为零。对3阶，5阶，7阶原基，取其行列式的代数余子式，由性质2，对于同一阶原基的行列式的余子式相等。那么 从上可推想 （3） 为m+1阶幻方原基余子式通式(m为层数)。在证明通式推想之前，先求出的关系式。m层幻方原基的行列式为： 根据原基的性质有 （4） 显然D=0（每行均加到第1行，则第一行全为0）D的每一加1得行列式1推论得：=D+ （5） 由性质2得 =经过一系列行列式的变换得 = = 令3阶幻方原基两角的元素,分别为-3,1，而-=8，所以 （7） 由（6）式得 （8） 此为行列式代数余子式的关系式，同样方法可得的关系式：= （9） 可见关系式只与原基四个角上的元素有关。 现在我们用数学归纳法来证明前面的通式 证明：①当m=1时有= 则第m层幻方原基行列式的余子式的关系式： =- （10） 所以只要= （11） 存在，而第m层整数从到）到-（）之间，其中与满足,且在第m层整数范围内，=因此=是存在=-== （12） 即通式对任意mZ成立。■ 从证明中我们得到了新的关系，=是存在的。那么我们利用它来构造幻方的原基。 3、构造幻方的原基 对于3阶； 5阶，； 7阶， 不妨令，=则原基第m层的四个角可写成： 表4 第m层原基的四个角 根据幻方原基的性质，则有 （13） 令,,…,为连续m-1个正整数，且为最小正整数,=2-2m+1,=2-2m+2,…,=2-2m+m-