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Vo1．11，No．6 高等数学研究 NOV．，2008 STUDIESIN COLLEGEMATHEMATICS 35 关于连续分段函数不定积分的求法 喻德生 余英姿 (南昌航空大学数学与信息科学学院 江西南昌 330063) 摘 要 对连续分段函数 的不定积分进行 比较深入 的研究，通过构造例子 ，阐述连续分段函数不定积分的四 种求法 ，即狭义上限函数法、广义上限函数法、方程 (组)法和差分方程法． 关键词 连续函数 ；分段函数 ；不定积分 中图分类号 O172 在高等数学和数学分析的教学和教材 中，有关区间上连续分段函数的不定积分的问题，常常出 现忽视区间产生分段点处所求原函数不连续的情况．文[1]指出了下列不定积分的错误解法： r 广 r l~／1一sin2xdx—Ilsinx—COS,T．}dx一±I(sinx—cosx)dx一--+(sinx+CO83：)+C， J J J 并纠正如下 ： rI~—／l— fsinx+cosx+Ca，2kTr-- ≤2k7c+号， — sin2xdx一{J (是E ， —sinx-cosr+Q ，2k7c+-y丌 ≤2k + ， I 由可导必连续 ，记 C =C，解得 C2— 2 +c，所以 rr —— ffsin_r+cosx+C， 2kTt一4z≤、2k耳+号4， I,／1一sin2xdx—1l ． (矗Ez)． L—sin．z-一cosx+C+245，2k卅号一≤2kn+一， 必须指出，该结果虽然解决了原函数在 = 2krc+ 处连续性 的问题 ，但容易验证原函数在 z一2k7c一竿处仍不连续．产生错误的原因在于：(1)表示不定积分的方法不正确．由于被积函数 有无穷多段 ，而每段上积分常数都可能有所不同。因此要用与段数个数相 当的积分常数来表示不定 积分；(2)确定积分常数的方法不正确．要用所有的分段点来确定积分常数，仅用部分分段点确定 的积分常数不能保证原函数在所有分段点的连续性． 那么，怎么才能解决连续分段函数，特别是有无穷多个分段点的连续分段函数的原函数在分段点处 的连续性，从而正确地求出这类函数的不定积分呢?这就是本文要研究的问题 ．有如下两类方法： 1 上 限函数法 上限函数法就是利用上 限函数求 出连续分段函数的一个原函数 ，再根据不定积分与原函数之 间的关系求出不定积分的方法 ．该方法也适用于一般函数的不定积分．仿闭区间上连续函数的上 限函数为其原函数的证明 ，容易证明如下定理，它是上限函数法的理论基础． 定理 设函数 ，(z)在区间 上连续 ，。E I或为j的端点，则 r r f／()d：r=l，(z)dx+C． (1) * 收稿 日期：2006—05—02；修改稿：2008—09—2O 36 高等数学研究 2008年 11月 特别地，当 (z)是区问J上的连续分段函数时，适当选取 。，分段求出上限函数F()一lf(t)dt，根 据上述定理就可 以得 出连续分段函数的不定积分．注意 ，由F()的连续性，在求下一段原函数时 利用上一段原函数F()在该段起点的值可简化求解过程 ． 1．1 狭义上限函数法 设 厂()为区间J上的连续分段函数且z。为分段点，则按 (1)式可求出厂(z)在 J上的不定积