第五章_定积分.pdfVIP

第五章 定积分 辅导十五 定积分的概念与性质 定积分与不定积分的关系 一、学习要点 理解定积分的概念及几何意义; 了解定积分的基本性质和积分中值定理. 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理; 掌握牛顿——莱布尼茨公式. 二、内容提要 1. 定积分的定义式 b n f (x ) dx = lim f ( )∆x . ∫a x ∑ ξ i i ∆ →0 i=1 说明: 定积分是一个和式的极限, 是一个常数, 它由被积函数与积分区间完全确定. 2. 两个规定 a b (1) ∫b f (x ) dx =−∫a f (x ) dx . a (2) ( ) d 0 ∫a f x x = . 3. 定积分的几何意义 b 在区间[a, b]上, 当f (x)≥0 时, 积分 f (x ) dx 在几何上表示由曲线y =f (x)、两条直线 ∫a x=a 、x=b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积, 可用于计算平面图形的面积. 4. 定积分的基本性质 b b (1) ∫a kf (x) d x =k ∫a f (x) d x (常数可以提到积分号的外面). b b b f x ±g x x = f x x ± g x x (和差的积分等于积分的和差). (2) ∫a [ ( ) ( )]d ∫a ( ) d ∫a ( ) d b c b (3) f x x = f x x + f x x , ∫a ( ) d ∫a ( ) d ∫c ( ) d 其中c 可以是区间[a, b] 内的点, 也可是[a, b]之外的点. b b (4)如果f (x)≤g(x)(a≤x≤b), 则 f (x ) dx ≤ g (x ) dx , 这称为保序性. ∫a ∫a b b (5) ∫a d x = ∫a 1d x =b −a ( 1 的积分就是区间的长度). (6)如果函数f (x)在区间[a, b]上的最大值与最小值分别为M 与m, 则 b m b − a ≤ f x x ≤ M b − a . ( ) ∫a