关于概率统计中的一些反例.docVIP

概率统计中的反例 前言 随机事件及其概率 同一问题的概型未必唯一 事件间的关系 由推不出 由推不出 概率为零的事件未必是不可能的事件 由概率关系推不出事件间关系 试验次数多概率就一定大吗？ 概率与抽样方式是否有关 事件概率与试验的先后次序是否有关 随机变量极其分布 离散型分布的最可能值是否唯一 单调不降右连续是分布函数的必要而非充分条件 既非离散型又非连续型的分布函数是否存在 具有无记忆性的离散型分布是否存在 不几乎相等的随机变量是否有相同的分布 联合分布与其边缘分布未必是同类型分布 边缘分布不能决定联合分布 不同的联合分布可具有相同的边缘分布 正态边缘分布可由非正态联合分布导出 10. 均匀分布不具有可加性 11. 分布函数之和不是分布函数 独立性与相关性相容性 两两独立但不相互独立 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，但A,B,C不两两独立 独立关系不具有传递性 随机变量不独立，但其函数可以独立 X与Y不独立，但与独立 X与Y不独立，但有相同分布 既不相关也不独立的随机变量 随机变量独立但它们的函数未必独立 独立性与相容性 10. 独立同分布的随机变量是否必相等 11. 有函数关系的随机变量是否一定不独立 随机变量的数字特征 随机变量的数学期望未必都存在 随机变量的方差未必都存在 数学期望存在但方差不存在 X的函数的期望是否等于X的期望的函数 X的各阶矩都存在也不能确定X的分布函数 满足E(XY)=E(X)E(Y)的X,Y未必独立 参数估计与假设检验 矩估计是否有唯一性 矩估计不具有“不变性” 极大似然估计是否有唯一性 似然方程的解未必是极大似然估计 参数估计的无偏性与一致性有无关系 无偏估计是否唯一 零假设与备择假设是否处于对等的地位 前 言 数学是由两个大类——证明和反例组成 数学发现主要是提出证明和构造反例 从科学性来讲 反例就是推翻错误命题的有效手段 从教学上而言 反例能够加深对正确结论的全面理解 【美】B.R.盖尔鲍姆曾说 “一个数学问题用一个反例予以解决 给人的刺激犹如一出好的戏剧” 相信读了《概率统计中的反例》后 我们大家都会有这一同感 随机事件及其概率 同一问题的概型未必唯一 概型（Schema）是随机现象的数学形式，它不是实际本身，而是实际的数学抽象。对于现实世界中的随机现象，要想进入数学理论的研究，首先必须确定其概型。 由于我们的认识水平以及现实问题的复杂性，使得所选定的概型往往不是唯一的。 概率论中著名的“n个球在n个盒子中的分布问题”（见王梓坤《概率论基础及其应用》P12-13 科学出版社）就说明了这一情况，这是一个典型概型的问题，内容是：设有r个球，每个都能以相同概率1/n落到n个盒子（n=r）的每一个盒子中，求指定的某r个盒子中各有一个球的概率。 如果我们把r各球视作r个人，而把n个盒子视为一年的天数：n=365.这时上述问题就成为了概率论中一个颇为著名问题的概型。此问题是求参加某次集会的几个人中，没有n个人生日相同的概率。 众所周知，关于球彼此间可以认为是有区别，也可以认为无区别；一个盒子可以假定仅能容纳一个球，也可以允许它能容纳许多球，如此一来，就可以分为以下几种概型： 马克斯威尔－波尔茨曼 认为球彼此之间有区别，且对每盒中可容纳球数不加限制； 玻色－爱因斯坦 认为球彼此不能区别，且对每盒中可容纳球数不加限制； 费密－狄雷克 认为球彼此无区别，且限制每盒中不能同时容纳二个球。 后来，为了统一以上三种情况，又产生了第四种情况 （4） 布里龙 认为球彼此可以区别，且增加了一些其他条件限制（见杨宗磐《概率论入门》 P.13 科学出版社） 以上四种情况，形成了统计物理学中的四种统计：球可看作为质点，盒子看作状态。 再看一例：n个人围成一个圆周，求其中甲、乙两人之间恰有r(n-2)个人的概率。（圆周排列时，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）对此问题，至少可找到三种概型来处理即可以构造如下的三种随机试验： n个人的任意一种排列作为一个基本事件； 仅以甲、乙两人在n个人一行中的不同排法作为基本事件组； 可由甲与乙之间的间隔数来考虑。 不论取何种概型，本题的求概率均为1/(n-1). 事件间的关系 (1). 由推不出 事实上，令 A={1,2,3,4},B={1,3,5},于是C=A-B={2,4},而 注：但时，能由 (2). 由推不出 令A={1,2,3,5},B={1,2},C={1,3,5},则但 注：当,,且时可由 (3). 一般 令A={1,2},B={2,3},C={2},则 注：当时， 概率为零的事件未必是不可能事件 不可能事件的概率必为零，反之却未必成立 当考虑的概型为古典概型时，概型为零的事件一定是不可能事件 当考虑的概型是几何概