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同伦提升定理的证明 洪杰 一．几个概念和引理。 1．覆盖空间。设Y 是X 的一个局部平凡的纤维化空间(locally trivial fibration) ，如果 x ∈X 的每一根纤维Y ∈Y (fiber)都是离散的，那么称Y 是X 的覆盖空间。 x 满射π : Y →X 称为是覆盖映射，如果∀x ∈X 都存在一个x 的开邻域U 以及一个 x 离散空间Λ使得Y | U 与U ×Λ是同胚的。 x 这里并没有给出所谓 trivial fibration, fiber 的定义，可以参见《Topology》(Janich) 的第九章第一节。我们说一下大概的感觉，可以这样从覆盖映射直观地理解，对于 −1 x ∈X ，∃某一个领域U ，使得在π 作用下得到了 “离散片”Y 中和U 一样的 x x 拷贝，就像叶子一样盖在上面。(参见 Janich 《Topology 》P130)事实上，覆盖空间 是具有这样的性质的。 要补充说一下的是，并不是所有的覆盖空间都是完全像我们想像中的那么“好”， 它也有可能比较复杂。(参见Janich 《Topology》P131—P132) 2 ．道路提升及道路提升的存在唯一性定理。 a) 道路提升： 令π : Y →X 是一个覆盖映射，α:[0,1] →X 是一个连续映射（一条“道路”）。 那么道路 % % % α:[0,1] →Y 如果满足α(0) y 0 且π α α ，那么就称为是α在o y 0 的提升。 b) 道路提升引理： 如果Y 是X 的覆盖空间，那么对任一X 中道路α及y 0 ∈Y ，有且只有一条α 在y 0 的提升α 。% 这个引理这里不证明了，证明不是困难的。我们承认这个非常直观的结果。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 二．同伦提升定理及其证明。 定理：令Y 是X 的一个覆盖空间，Z 是另外一个拓扑空间而h : Z ×[0,1] →X 是一个 % 连续映射 （伦移），且h0 : Z →Y 是h0 的一个“提升”（起始映射的提升）。即有 如下的图表： % h 0 Z ×0 Y π % h Z ×[0,1] X h