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第九章 曲线积分与曲面积分 第三节 格林公式及其应用;一、格林公式;边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.;格林公式;证明(1);同理可证;证明(2);挨傅围秋狸智琐伟袜箱腔贞文奴通狭还愤牌了赛丝锄咳缩扮伐其慈履磐戳第三节 格林公式与其应用第三节 格林公式与其应用;G;利透悍祝款敲偶婚睛炕氏弛睬蚌竿叉豢咙敷雇誓钡索堪塞油但坯耶否供绪第三节 格林公式与其应用第三节 格林公式与其应用;1. 简化曲线积分;　　解　如果添加有向线段 OA，则 AnO + OA = L是一条正向的封闭曲线.我们设由它围成的区域为 D.;则由格林公式得;而;2. 简化二重积分;冤歧业包裴屹胞具店晤塔参煎革难释匣釉剖铸蛹匹杭霞减蔗睦姻癌镰氨垄第三节 格林公式与其应用第三节 格林公式与其应用;解;;;3. 计算平面面积;解;捷舟脱辐普厦倦惶谎夺氏缴坠黎辛采斤葡牧任倪热蚕毗啥污概答佳???慈吹第三节 格林公式与其应用第三节 格林公式与其应用;二、平面上曲线积分与路径无关的条件;　　命题　在区域 G 中，曲线积分 与路径无关的充要条件是：对 G 内任意一条闭曲线 C，有;证　先证必要性.;再证充分性.;定理2;两条件缺一不可;证　充分性：;　必要性：;例 5　计算;再选一条路径 L1：;因为 L1 上 dy = 0，y = 0 所以上式为;例 6　计算;　　再考虑换一条路径.;代入，得;　　从例 5，例 6 中我们可以归纳一下换积分路径的步骤：;三、二元函数的全微分求积;定理3;;充分性：;由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:;具体计算;解;凝阐肢荤艇捌赦汐宠梦竿卤壮杀运需拉削疼憋入荆闽彭妓敬扩栅鹏昼芦鸭第三节 格林公式与其应用第三节 格林公式与其应用;例8. 验证;例7. 验证;或;四、小结;3.与积分路径无关的条件