探索法(一).pptVIP

数学竞赛题是具有智力挑战特征，它需要人们综合地、创造性地运用各种数学知识才能解决．因此，解数学竞赛题时，一般很难一眼就看准解题思路．这需要我们在认真审题，充分理解题意的基础上，将自身已有的知识与经验和需要解决的问题情境进行沟通和对接，不断摸索规律，拉近已知与未知的距离，就有可能寻找到解决问题的途径．这样的解题思想方法称为探索法． * * 探索法（一） 第二节 常用的探索途径有以下几方面： 一、联 任何事物都不可能孤立于其他事物之外而独立存在，事物之间存在着种种联系，存在着种种不同的关系，如相似关系、相近关系、相补关系、相反关系等等．正是由于事物之间的各种联系，促使人们能产生广泛的联想，由此及彼、由表及里，由此带动问题的解决． “联”就是着眼于寻找共性、寻找联系． 抽象、概括和提炼的过程. 这是一个 已有知识体系是人们解决问题的基础，旧方法是形成新方法的前提和导火索， 新方法的发现又是旧方法的发展， 联想则是新方法发现的中介． 常见的联想途径有：类比联想、类似联想、关系联想、辨证联想等等； 根据问题本身的特征， 常见的联想类型有：结构联想、逻辑联想、数形联想、极端联想等等． 例1 [返朴归真] 已知 ．(2000年全国初中联赛) 那么 解 联想立方差公式 联想和的立方公式 例2　［团结就是力量］ 已知x、y是正整数，并且 　　．(2001年全国初中联赛) 解 联想韦达定理，依题意得 于是xy、x+y是 的两根8、15,有 或 注意到前者无正整数根，得 例3　[回文游戏] 　　.(2003年四川省初中) 由韦达定理联想到对称式, 分析 设 构造对称式 利用韦达定理构造关于A、B的方程组． 解 设 由韦达定理， 于是 进而易得 解得 例3′ 已知 则 （ ） （A） （B） （C） （D） （2007年河南省高二预赛） 解 故 选（D）. 例4 [特派员] 的值是　． （1999年上海市高中数学竞赛） 联想特殊角 解一 设 则有 解得 例4 [特派员] 的值是　． （1999年上海市高中数学竞赛） 解二 联想数列求和问题中常用的“裂项求和”法， 分子分母同乘以 得 原式= 例5 在椭圆 中,记左焦点为F,右 顶点为A, 短轴上方端点为B，离心率为 ∠ABF=　　.(2000年,全国高中联赛) 则 分析１ 数形结合联想. 余弦定理求解． 联系a、b、c的几何意义及 解一 由余弦定理可得 代入可得 分析２　联想三角形面积公式 得另解． 解二 ① ② 由①②可得 例6　解方程组 求其正数解.(1998年西安市高中数学竞赛) 解一 本题采用加减法或代入法直接消元较为困难. 由于每个方程左边都具有 的结构, 联想到立方差公式 方程组可变为 将(4)(5)(6)相加,得 代入(2)得 将(8)减去(1),消去常数项,注意x大于零,得 代入 可解得 解二 联想到余弦定理，方程组可变形为 由几何量齐次性,给变量及常数赋予几何意义, 构造几何模型解释此方程组： 由余弦定理知 是原方程组的一个正数解． 注意到点O的费尔马性质, 将△AOC绕点C旋转 作 得 且易得 又 故 另一方面，由⑴⑵⑶两两相减得 由⑷⑸⑹⑺可得 二、退 俗话说:“退一步海阔天空”. 关于数学问题的解决, 著名数学家华罗庚先生有个精辟的论述： “解题时要 先足够地退, 退到最原始而又不失重要性的地方,退 到我们容易看清楚问题的地方”． “退”就是要退出个性，就是退到简单或特殊． 在数学问题解决过程中,从极端元素看问题, 从基 本量看问题，有时可方便问题的解决． 　　　 例7 (江苏省第十八届初二第１试 ) 解 ∵ ∴所求数是 143． 例8 [是真是假] 某商店售出两只不同的计算器,每只 均以90元价格成交, 其中一只盈利20%, 另一只亏本 20%,则在这次成交买卖中,该店的盈亏情况是( ) (A)不盈不亏 (B)盈利2.5元 (C)亏本7.5元 (D)亏本15元 (江苏省第十五届初二数学第1试) 设两只计算器进价分别为x、y元,(退到基本量) 解 解得 于是由 知选(C). 则依题意,得 例9 [特别的爱，给特别的你] 已知在△ABC中， 则AC的长为 ( ) (2001年全国初中) 在初中范围内，可借助特殊三角形解决: 分析 在BC边上取点D，使 则AD=2x,CD=1-2x． 设AC=x， 由勾股定理，有 由于 选（