大学数学(高数微积分)第三章线性方程组第六节(课堂讲义).ppt

3. 非齐次线性方程组解的结构 定理 9 如果 ?0 是方程组 (9) 的一个特解，那 么方程组 (9) 的任一个解 ? 都可以表成 ? = ?0 + ? ， (10) 其中 ? 是导出组 (1) 的一个解. 因此，对于方程组 (9) 的任一个特解 ?0 ，当 ? 取遍它的导出组的全部 解时，(10) 就给出 (9) 的全部解. 证明 显然 ? = ?0 + ( ? - ?0 )， 由上面的 1)， ? - ?0 是导出组 (1) 的一个解，令 ? - ?0 = ? ， 就得到定理的结论. 既然 (9) 的任一个解都能表成 (10) 的形式，由 2) 在 ? 取遍 (1) 的全部解的时候， ? = ?0 + ? 就取遍 (9) 的全部解. 证毕 非齐次线性方程组的一般解 ? = ?0 + k1?1 + k2?2 + … + kn - r?n - r 设 ?0 是非齐次线性方程组的一个特解， ?1 , ?2 , … , ?n - r 是它的导出组的一个基础解系，则它 的任一个解 ? 可表示为 称之为非齐次线性方程组的一般解 . 由定理 9 容易得出以下推论： 推论 在非齐次线性方程组有解的条件下，解 是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解. 证明 充分性 如果方程组 (9) 有两个不同的 解，那么它的差就是导出组的一个非零解. 因此， 如果导出组只有零解，那么方程组有唯一解. 必要性 如果导出组有非零解，那么这个解 与方程组 (9) 的一个解 (因为它有解) 的和就是 (9) 的另一个解，也就是说，(9) 不止一个解. 因之， 如果方程 (9) 有唯一解，那么它的导出组只有零解. 证毕 例 1 求非齐次线性方程组 单击这里开始求解 例 2 设线性方程组 讨论方程组的解的情况与参数 a, b 的关系，有解时 求其解. 单击这里开始求解 三、直线平面间的位置关系的判断 平面和直线之间的位置关系是指平面与平面、 平面与直线、直线与直 线之间的位置关系. 由于 平面和直线在直角坐标系下的方程，是三元线性 方程 a1x1 + a2x2 + a3x3 = b 和两个三元线性方程组成 的方程组，因此，讨论它们之间的位置关系 ( 如平 行、重合、相交等 )，可用线性方程组的解的理论 阐明. 1. 两个平面间的位置关系 两个平面间的位置关系有：平行、重合、相交 三种情况. 设有两个平面 ?1 , ?2 ，其方程如下： ?1 ： a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 , ?2 ： a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 则平面 ?1 , ?2 间的位置关系可由线性方程组 的解的情况来确定. 为方便起见，用 A 表示所讨论的方程组的系数 矩阵，B 表示所讨论的方程组的增广矩阵，R(A) 表 示矩阵 A 的秩. 1) 相交的条件是：R(A) = R(B) = 2. 这时方程组有无穷多组解，其一般解中含有一 个任意常数，即两平面相交为一直线. 2) 重合的条件是： R(A) = R(B) = 1. 这时增广矩阵的两个行向量成比例，故两个平 面是重合的. 3) 平行的条件是：R(A) = 1，R(B) = 2. 这时方程组无解，即两个平面平行，且不重合. 2. 平面与直线间的位置关系 平面与直线间的位置关系有：直线平行于平面, 直线在平面上，直线与平面相交于一点三种情况. 设平面 ? 的方程为 ? ： a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 , 直线 L 的方程为 则平面 ? 与直线 L 的位置关系由下面的方程组 的解的情况确定. 2) 直线 L 在平面 ? 上的条件是： 1) 直线 L 与平面 ? 相交的条件是： 这时方程组有唯一解，即平面 ? 与直线 L 相交 于一点，且因为 | A | ? 0，所以三个平面的法向量 线性无关，即不共面. R(A) = R(B) = 2. R(A) = R(B) = 3. 这时方程组有无穷多解 ( 求解时有一个自由未 知量)，解集的图形是一条直线，即直线 L 位于平 面 ? 上. 3) 直线 L 与平面 ? 平行的条件是： R(A) = 2，R(B) = 3. 这时方程组无解，直线 L 平行于平面? ，但不 在 ? 上. 3. 两直线间的位置关系 两条直线间的位置关系有：相交、平行、不共 面(即交叉不相交) 三种情况. 设直线 L1 和 L2 的方程分别为 则直线 L1 与 L2 的位置关系由下面的方程组 的解的情况确定. 1) 直线 L1 与 L2 相交的条件是： R(A) = R(B) = 3. 这时方程组有唯