北京四中2014-2015届下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）.docVIP

北京四中2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科） 试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分。 卷（Ⅰ） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1. 设i为虚数单位，则＝（ ） A. i B. －i C. 1 D. －1 2. 函数的导函数＝（ ） A. B. C. D. 3. 等于（ ） A. 1 B. C. e D. 4. 在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 函数是定义在内的可导函数，且满足：，对于任意的正实数，若，则必有（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间上的图象如图所示，则的可能值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 9. 设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为____________。 10. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则____________。 11. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则函数的解析式是__________。 12. 函数在上的极大值点为____________。 13. 曲线与坐标轴围成的面积是____________。 14. 函数在R上存在导数，对有，且在上，，若，则实数a的取值范围为____________。 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。 15. 已知函数。 （1）求函数的极值点； （2）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程。 16. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。 （1）求a的值； （2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。 17. 设函数。 （1）当时，求函数的单调区间； （2）设为的导函数，当时，函数的图象总在的图象的上方，求a的取值范围。 卷（Ⅱ） 一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 1. 函数，，若有，则b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示。记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为，那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（ ） A. B. C. D. 3. 已知均是定义在R上的函数，， ，在有穷数列中，任取正整数，则前k项和大于的概率是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 4. 已知复数，它们所对应的点分别为。若，则的值是_________。 5. 如图，是函数的两个极值点，为函数的导函数，则不等式的解集为______________。 6. 当时，不等式都成立，则实数k的取值范围是___________。 三、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分。 7. 已知函数，点为一定点，直线分别与函数的图象和x轴交于点，记△AMN的面积为。 （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，若，使得，求实数a的取值范围。 8. 已知函数。 （1）若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； （2）当时，试讨论与这两个函数图象的交点个数。 【试题答案】 卷（Ⅰ） 1-8 ADCCCDBB 9. 2 10. 11. 12 13. 14. 15. 解（1）， 由得， 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，是函数的极小值点，极大值点不存在。 （2）设切点坐标为，则， 切线的斜率为， 所以，， 解得， 所以直线的方程为。 16. 解：（Ⅰ）因为时，所以； （Ⅱ）由（Ⅰ）知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润； ； ，令得 函数在上递增，在上递减，所以当时函数取得最大值＝42 答：当销售价格时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42。 17. 解：（Ⅰ）当时，。 由得，解得或； 由得，解得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为。 （Ⅱ）因为， 又因为函数的图象总在的图象的上方， 所以，即在恒成立。 又因为，所以，所以， 又