第五章 平稳过程及其谱分析.ppt

第五章 平稳过程及其谱分析 平稳过程一方面受随机因素的影响产生随机波动,同时又有一定的惯性,使在不同时刻的波动特性基本保持不变.其统计特性是:当过程随时间的变化而产生随机波动时,其前后状态是相互联系的,且这种联系不随时间的推延而改变. 如纺织过程中棉纱横截面积的变化,导弹在飞行中受到湍流影响产生的随机波动,军舰在海浪中的颠簸及通信中的干扰噪声等它们都可以用平稳过程描述. 问题的提出： 随机过程的数字特征(均值、相关函数)是对 随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际 中常常很难测得大量的样本，我们自然会提出这 样一个问题：能否从一次试验得到的一个样本函 x(t)来决定平稳过程的数字特征呢? 性质： 维纳-辛钦定理： 它们统称为维纳-辛钦(Wiener-Khintchine)公式. 4. 功率谱密度的性质和维纳-辛钦公式 设{X(t),t∈T}是连续平稳过程,则其谱密度 * 基础部张守成 * 基础部张守成 着很强的影响. 如果过程的统计特性不随时间的推移而变化， 则称之为平稳过程. 一、平稳过程的概念及性质 在实际中有许多随机过程, 不仅它现在的状 态, 而且它过去的状态, 都对未来状态的发生有 定义 具有相同的分布函数, 为强平稳随机过程 (严平稳过程或狭义平稳过程). 1. 强平稳过程 序列, 或平稳时间序列. 说明 (1)将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有重 过程若是平稳的可使问题的分析尤 为简化. (2)平稳过程的数字特征有很好的性质. 要的实际意义. 平稳过程数字特征的特点 (即不随时间的推移而变化). (1) 平稳过程的均值函数为常数. (2) 故其协方差函数也仅是时间差的函数 显然其方差函数 要确定一个随机过程的分布函数, 并进而判定 其平稳性在实际中不易办到,故退而求其次. 2. 弱平稳过程 定义 说明 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. 以下均讨论弱平稳过程,并简称为平稳过程. 性质1 均方值 性质2 偶对称性 性质3 极值性 3. 平稳过程的性质 实平稳过程X(t)的相关函数RX(τ)具有以下性质. 同理可证协方差函数CX(τ)也具有以上性质. 解 例2 定义 同时考虑两个平稳过程: 如果它们的互相关函数只是时间差的单变量函数 即 合宽平稳的. 4. 联合平稳 平稳相关过程的互相关函数有下列性质: (1) RXY(-τ)= RYX(τ) ; (2) |RXY(τ)|2 ≤ RX(0)RY(0) . 课堂练习 2(结论)、若X(t)和Y(t)是平稳相关的，则过程 Z(t)= aX(t)＋bY(t) 是平稳过程. (其中a, b是常数) 1、设有随机过程X(t)=Zsin(t+Y),其中Y与Z是相互 独立的随机变量, Z 服从 (-1,1) 上的均匀分布，且 证明X(t) 是宽平稳过程. 二、平稳过程的遍历性 定义 则称过程X(t)具有遍历性. 一个有趣而又非常有用的特性,称为“各态历经性” 回答是肯定的.平稳过程在满足一定条件时具有 （又称“遍历性”）. 下面，我们来讨论平稳过程具有遍历性的条件. 例3 试证明随相信号 是平稳过程. 其中 是常数,相位 服从 上的均匀分布. 证 过程是否具有遍历性呢？ 因此过程具有遍历性. 具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立. “各态历经”的含义是：具有各态历经性的过程的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态. 各态历经定理的条件是比较宽的, 工程中碰到 到的大多数平稳过程都能满足. 但要去验证它们是 否成立却是十分困难的. 如在通信系统中所遇到的随机信号和噪声,一般