数值分析.南京电大 36讲 szfx11.docVIP

二.样条插值函数 高次插值函数的计算量大,有剧烈振荡,数值稳定性差;而分段线性插值在分段点上仅连续而不光滑(导数不连续)。样条函数可以同时解决这两个问题,使插值函数既是低阶分段函数,又是光滑的函数。 1. 样条函数 在[a,b]上取n+1个插值结点, 已知函数在这n+1个点的函数值为,则 在[a,b]上函数的m次样条插值函数满足: (1)在（a,b）上直到m-1阶导数连续; (2),; (3)在区间上,是m次多项式。 2. 三次样条函数 在[a,b]上函数的三次样条插值函数满足: (1)在（a,b）上0、1、2阶导数连续;即 ,,. (2),; (3)在区间上,是三次多项式。 3. 三次样条函数的计算 由二阶导数连续,设,,是未知、待定的数。因是分段三次多项式,则是分段一次多项式,在每个区间内， 记,则 将上式在区间上积分两次,并且由,来确定两个积分常数。 当时, 利用一阶导数连续的性质,对上式求导,得: 在上式中,令,得: 将上式中的换成,得: 在上的表达式,用代入， 而, 联立上述两式,得到关于的方程: , 两边乘以,得: 上式中，等式左边含未知量,,, 等式右边,,是已知的,令 ,,， 则得:,。 这是含有n+1个未知量,共有n-1个方程组成的线性方程组。欲确定方程的解,尚缺2个方程。因此,求三次样条函数还要2个附加条件。 常用的问题有下面两种提法: 第一类问题:附加条件为,。 则方程组为: 其系数矩阵为 这是一个三对角矩阵,由于,因而它是严格对角占优的。原方程组是个三对角方程组,可以用追赶法求解。 第二类问题:给出边界端点的一阶导数值: ,。 利用前面已推导的公式:当时, 取,,得:; 取,,得:。 移项，得： 于是,我们可以建立如下方程组: 其系数矩阵是严格对角占优的三对角矩阵: 从而可以解出。 解出后可以得到三次样条函数的分段表达式, 即当时, 例:已知的函数值为 x 1 2 4 5 y 1 3 4 2 求函数的三次样条插值。 解:,,; ,, ,; , ; 建立方程组 解得:,。 从而得到函数的三次样条插值: 当时, ； 当时， ； 当时， 。 所以 §4.数据拟合的最小二乘法 一.数据拟合问题的数学提法 通过观测、测量或试验得到某一函数在的函数值。我们可以用插值的方法对这一函数进行近似,而插值方法要求所得到的插值多项式经过已知的这n个插值结点;在n比较大的情况下,插值多项式往往是高次多项式,这也就容易出现振荡现象:虽然在插值结点上没有误差,但在插值结点之外插值误差变得很大,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”。于是,我们采用数据拟合的方法。 所谓数据拟合是求一个简单的函数,例如是一个低次多项式,这儿不要求通过已知的这n个点,而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有误差,,数据拟合就是从整体上使误差, 尽量的小一些。 ,,