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导数与微分 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数微分法及其应用 第九章 习题课 一、关于多元函数极限的题类 二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类 三、关于偏导数、全微分计算的题类 四、关于方向导数和梯度的题类 五、关于多元函数微分学应用的题类 1.几何应用. 2.极(最)值 一、 基本概念 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 1. 多元函数的定义、极限 、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的导出关系 偏导数连续 可 微 连 续 偏导数存在 极限存在 极限存在 【必须熟练掌握本章以下几个概念之间的关系】 一、关于多元函数极限的题类 二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多，计算也更困难.通常从以下四个方面考虑： (1)设法利用变换化为一元函数的极限再求……; (2)掌握绝对值不等式的放缩技巧，使用夹逼定理; (3)通过观察，若大致估计所求极限不存在，可选择两条不同路径，求出不同的极限值，借以证明原式极限不存在; (4)利用二元初等函数在内点处的连续性: 【例1】 【解】 取路径 y = k x，则 与k有关,故不存在. (也可选取一条路径求得极限不存在,则原极限不存在) 【例2】 【解】 故所求极限不存在. 【例3】 初等函数.(1,0)定义域内点.连续.　代入法 【例4】 换元,化为一元函数的极限 【阅读与练习】 求下列极限 【解】 【提示】可以引用一元函数求极限的各种技巧 【例5】 【解】 由于 且 故原极限=0 ——夹逼准则 【说明】多元函数的极限是自变量各自独立地同时在变，称为重极限.还有一种是自变量分先后次序变，称累次极限。如 即先x固定，变量y 趋于b，然后再令变量x趋于a. 这种极限是两个极限过程；而重极限是一个极限过程.两者是不同的. ［例如］例1中，两个累次极限 存在 而二重极限不存在. ［又如］ 则重极限 而两个累次极限均不存在. 【强调】本课程讨论的极限均为重极限. 二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类 一般来说，讨论二元函数z = f (x,y)在某点的连续性、可偏导性以及可微性时，都要用相应的定义判定；尤其是分段函数在分界点的上述“性态”就是要用各自的定义判断. ［连 续］ ［可偏导］ ［可 微］ 内含三条，缺一不可 包括高阶偏导数定义等 【例1】 【解】 所以有 【例2】设 【解】 A.连续而偏导不存在 B. 偏导存在但 f 不连续 C. 偏导存在且连续 D. 可微 所以f 在(0,0)点连续,故否B . 所以f (x,y)在(0,0)点偏导数存在,故否A . 若取路径 y = x，则 不存在(可取两子列验证) 则f 在(0,0)点偏导数不连续,故否C . 而 所以f (x,y)在(0,0)点可微. 综上所述，应选D. 【注意】此题是偏导数存在且连续仅是可微的充分条件的 一个实例. 【例3】 设函数 【解】(1) 同理,由fy(0,0)存在 即判断 利用夹逼准则 因此? (0,0)=0时， f (x,y)在(0,0)点可微. (2)因可微必可偏导，所以为使f (x,y)在(0,0)点可微，必应有 ? (0,0)=0.但此条件下是否可微，应进一步用可微定义判定. ③ 三、关于偏导数、全微分计算的题类 1. 【多元复合函数求导法则】 (1) 【可导充分条件】内层函数偏导存在, 外层函数偏导连续 (2) 【复合函数求导链式法则】 ① 全导数 ② 2.【全微分】 全微分＝各偏微分之和 u,v是自变量或中间变量 3.【隐函数的求导法则】 (1)［公式法］ (2)［推导法］(直接法)——方法步骤 ③ ① ② x、y、z 等各变量地位等同 公式不必记,要求掌握［推导法］ ③解由②得到的方程(组), 解出要求的偏导数. 形式不变性 ①搞清哪个(些)是因变量、中间变量、自变量； ②将方程(组)两边同时对某个自变量求(偏)导； 其余自变量的偏导数同理可求. 【例1】 【解】 【注意】易犯错误: 此错误在于: 【例2】 【解】 【分析】 则 而 因? (x,y)在(0,0)处仅连续,则求f(x,y)在(0,0)处的偏导数就不能用求导的乘积法则,而只能用定义求.最后再用可微定义判可微性. 所以f 在(0,0)可微 【例3】 【解】 两边同时对x求导 【例4】 【解】 【分析】抽象函数无中间变量,引入记号f 1 , f 12等。观察法. 【例5】 【解】 【分析】 确定y=y(x), z=z(x), u=u(x)三方程两边同时对x求导. 于是可得, 【例6】 【分析】 确定y=y(x)，z=z(x)，u=u(x).三方程两边同时对x求导.