8 1向量及其线性运算.pptVIP

*/28 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、向量概念 二、向量的线性运算 四、利用坐标作向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 六、小结 思考题 ⑴向量： 既有大小又有方向的量。 如位移、速度、加速度、力等。 ⑵向量表示： 模长为1的向量. ⑸零向量： 模长为0 的向量. | | ⑶向量的模： 向量的大小. ⑷单位向量： 或 或 1、概念 ⑷单位向量： ⑸零向量 ⑹自由向量： 不考虑起点位置的向量. ⑺相等向量： 大小相等且方向相同的向量. ⑻负向量： 大小相等但方向相反的向量. ⑼向径： 空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量. 2、两非零向量的关系 ⑴相等： 大小相等且方向相同的向量. ⑵平行或共线： 方向相同或相反的两个非零向量. ⑶垂直： 方向成90°夹角的两个非零向量. 注意： 由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为 零向量与任何向量都平行或垂直。 ⑷共面： 把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面. 1、向量的加减法 ⑴ 加法： （平行四边形法则） 特殊地：若 ‖ 分为同向和反向 （平行四边形法则有时也称为三角形法则） ⑵向量的加法符合下列运算规律： ①交换律： ②结合律： ③加负律： ⑶ 减法 2、向量与数的乘法 ⑴ 定义： ⑵数与向量的乘积符合下列运算规律： ①结合律： ②分配律： ⑶线性运算： 向量的加法及数乘统称为向量的线性运算。 例1 化简 解 例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 证 与 平行且相等, 结论得证. 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. ⑷单位向量的表示 注意：与三个坐标轴同向的单位向量的记法. ⑸两个向量的平行关系 证: 充分性显然； 下面证明必要性 两式相减，得 注：此定理是建立数轴的理论依据. 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系Oxyz坐标系 或[O;i,j,k]坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. 1、坐标系的构成 ⑴ 坐标轴：横轴、纵轴、竖轴 ⑵ 坐标面：xOy面、 yOz面、zOx面 ⑶ 卦限：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ Ⅶ 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ 空间的点M 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点 2、点、向量与坐标 ⑴加法 1、向量的加减法与数乘 ⑵减法 ⑶数乘 2、平行向量的坐标表示式 解 例3 求解以向量为未知元的线性方程组 解二元一次方程组，易得 例4 已知两点A(x1,y1,z1) 和B (x2,y2,z2) 以及实数λ≠-1，在直线AB上求点M，使 解 设 为直线上的点， 由题意知： ⑴向量的模: 1、向量的模与两点间的距离公式: 按勾股定理可得 ⑵两点间的距离公式: 解 原结论成立. 例6 已知两点A(5,3,1) 和B (1,0,5)，求与 解 解 设P点坐标为 所求点为 2、方向角与方向余弦 ⑴空间两向量的夹角的概念: 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. 非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角. ⑵方向角 显然有 ⑶方向余弦 由图分析可知 方向余弦通常用来表示向量的方向. 向量的方向余弦 方向余弦的特征 特殊地：单位向量的方向余弦为 例8 已知A(3,3,1) 和B (1,5,1) , 计算 解 解 * * * *