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第十二章习题课 一、一阶微分方程求解 三、高阶微分方程求解 * * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程 第七章 习题课 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 三、高阶微分方程求解 待定系数法 基本概念 一阶方程 类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.线性方程 5.伯努利方程 可降阶方程 线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4 二阶常系数线性 方程解的结构 特征方程的根 及其对应项 f(x)的形式及其 特解形式 高阶方程 特征方程法 主要内容 作变换 微分方程解题思路 一阶方程 高阶方程 分离变量法 常数变易法 特征方程法 待定系数法 非变量可分离 降阶 作变换 【例1】求下列方程的通解 ［提示］(1) 故为分离变量方程: 通解 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 调换自变量与因变量的地位 , 用线性方程通解公式求解 . 化为 ［提示］ 这是一个齐次方程 . 【例2】求下列方程的通解: ［提示］(1) 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (贝努里方程) (分离变量方程) 原方程化为 令 z= y2 (伯努利方程) 化方程为 【例3】 【解】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解 可分离变量的微分方程 通解为 所求通解为 【解】 所求通解为 【解】 【解】 求下列微分方程的通解: ［提示］令 u = x y , 化成可分离变量方程 : ［提示］这是一阶线性方程 , 其中 【例4】 ［提示］可化为关于 x 的一阶线性方程 ［提示］为贝努里方程 , 令 ［提示］可化为贝努里方程 令 已知某曲线经过点( 1 , 1 ), 轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . ［提示］设曲线上的动点为 M (x,y), 令 X = 0, 得截距 由题意知微分方程为 即 定解条件为 此点处切线方程为 它的切线在纵 二、解微分方程应用问题 利用共性建立微分方程 ; 利用个性确定初始条件. 关键问题是正确建立数学模型, 要点: 【例5】 【例6】 【解】 识别下列二阶微分方程的类型，并求解 【解】 ［提示］可化为关于 x 的一阶线性方程 ［提示］为贝努里方程 , 令 ［提示］可化为贝努里方程 令 已知某曲线经过点( 1 , 1 ), 轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . ［提示］设曲线上的动点为 M (x,y), 令 X = 0, 得截距 由题意知微分方程为 即 定解条件为 此点处切线方程为 它的切线在纵 二、解微分方程应用问题 利用共性建立微分方程 ; 利用个性确定初始条件. 关键问题是正确建立数学模型, 要点: 【例5】 【例6】 【解】 识别下列二阶微分方程的类型，并求解 【解】 【例6】 【解】 识别下列二阶微分方程的类型，并求解 【解】 原方程的通解形式为 【解】 原方程的通解形式为 【解】 1) 求以 为通解的微分方程. 【例7】满足下列条件的微分方程 P353 题2 ［提示］ 消去 C 得 【解】 【解】 【解】 * *