7 11微分方程的基本概念.PPTVIP

微分方程 姓 名： 赵 晶 单 位： 信息与计算科学教研室 机C304 电 话： 132 9531 2442 E-mail: lkzhaojing2000@163.com 第一节 微分方程的基本概念 一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、小结 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程 第七章 — 积分问题 — 微分方程问题 推广 微分方程的 基本概念 引例 几何问题 物理问题 一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、小结 【引例1】 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 【解】 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 【引例2】 列车在平直路上以 的速度行驶, 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 【解】 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 由前一式两次积分, 可得 利用后两式可得 因此所求运动规律为 ［说明］ 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) . 【例】 常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数（或微分）的方程叫做微分方程 . (未知函数为一元函数) 分类 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. ( n 阶显式微分方程) 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 或 (未知函数为多元函数) 引例2 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相等. 特解 引例1 通解: 特解: 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 初始条件 其图形称为积分曲线. 【分类1】常微分方程, 偏微分方程. 一阶微分方程 高阶(n)微分方程 【分类2】 【分类3】线性微分方程，非线性微分方程 ——未知函数及其各阶导数是否都是一次幂的。 【分类4】单个微分方程与微分方程组. 【例1】验证函数 是微分方程 的通解, 的特解 . 【解】 这说明 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, 利用初始条件易得: 故所求特解为 故它是方程的通解. 并求满足初始条件 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解; 初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线． 本节基本概念： 【思考题】 【思考题解答】 中不含任意常数, 故为微分方程的特解.