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§2 求导数的方法——法则与公式 一、问题的提出（Introduction） 二、函数的和、差、积、商的求导法则 三、反函数的求导法则 四、复合函数的求导法则 五、基本求导法则与导数公式 三、一些常见函数的高阶导数的求法 内容小结 返回 上页 下页 目录 * * 第三章 三、反函数的求导法则 二、函数的和、差、积、商的求导法则 一、问题的提出 四、复合函数的求导法则 五、小结与思考题 （The Rule of Derivation） 1. 导数的定义 2. 利用导数的定义得出以下导数公式： 但是，对于比较复杂的函数， 直接根据定义求它 们的导数往往很困难. 例如，求下列函数的导函数： 为此，我们有必要研究一下函数的求导法则！ 定理1 的和、 差、 积、 商 (除分母 为0的点外) 都在点 x 可导, 且 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题. 此法则可推广到任意有限项的情形. 设 , 则 例如, 证: （1） 证: 设 则有 推论: ( C为常数 ) （2） 证: 设 则有 故结论成立. 推论: ( C为常数 ) （3） 的导数. 例1 求函数 答案： 和 例2 求函数 的导数. 答案： 和 例3 求函数 的导数. 答案： 定理2 y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 例4 求反三角函数的导数。 解: 设 则 类似可求得 , 则 在点 x 可导, 定理3 在点 可导 复合函数 且 在点 x 可导, 证: 在点 u 可导, 故 （当 时 ) 故有 说 明： 例如, 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. （3） 此法则可推广到多个中间变量的情形. 的导数. 例5 求函数 答案： 例6 设 提示： 分情况讨论。 答案： 由此可见， 即 答案： 求 解: 思考: 若 存在 , 如何求 的导数? 这两个记号含义不同 例8 设 练习 1. 常数和基本初等函数的导数 2. 函数的和、差、积、商的求导法则 ( C为常数 ) 3. 反函数的求导法则 单调可导, 则 4. 复合函数求导法则 5. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数 若函数 的导数 可导, 或 即 或 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的二阶导数 , 记作 的导数为 依次类推 , 分别记作 则称 高阶导数 例1 设 求 解： 1. 直接法 求高阶导数就是多次接连地求导数. 例2 求 的n 阶导数. 解： 求 解: 一般地 , 类似可证: 例3 设 2. 数学归纳法证明高阶导数 * * * *