第四节 解析函数的物理意义.pptVIP

* * * §4 解析函数的物理意义 1. 用复变函数描述平面向量场 设有向量场 图2-7 如果这个向量场中所有向量都与某个平P平行, 而且在垂直于这平面P的直线上每一点处, 于任一固定时刻t, 场中向量都彼此相等, 那末就称该向量场为平面平行向量场, 简称为平面向量场（图2-7）. 从而 例如 可以表示一个流速场。 表示平面电场 2. 平面流速场的复势 设向量场v是不可压缩的（即流体密度不因流体受到 的压力而改变）定常的理想流体的流速场: 其中速度分量 都具有连续的偏导数. 和 如果它在单连通区域B内是无源场（即管量场）, 则其散度为零, 即 此即 从而知 是某个二元函数 的全微分, 即存在二元函数 使得 因此有 因为沿等值线 有 因为沿等值线 有 由此知，在等值线 上每一点处的向量 v 都 与等值线相切, 因而在流速场中, 等值线 就是 流线. ------------流函数 如果v又是B内的无旋场（即有势场）, 即其旋度 是某个二元函数 的全微分, 即 从而有 即 从而有 由此可得 -----------势函数 ----------等势线 由以上讨论知， 在单连通区域 B 内向量场 v 即是无 源场又是无旋场，则有 同时成立， 即有 C—R方程 由解析函数的导数公式，有 例23 设不可压缩流体运动的复势函数为 求该运动的速度场、流线以及势函数的等值线. 解 因为 解 因为 所以在场中任一点z（z≠0）处的速度为 另外, 由复势函数 可得 另外, 由复势函数 可得 其中 由此知, 势函数的等值线是以原点为中心 的圆周 而流线则是由原点出发的射线 3. 静电场的复势 设有平面静电场 如果假设在该场内没有带电物体, 则该静电场是一个无 源无旋的平面向量场. 因为E是无源场, 故其散度为零, 即 --------------力函数 -------电力线 又因为场E是无旋场, ---------等势线 ------------------势函数 对于 成立. -------静电场E的复势