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用计算器求超越方程数值解的几个简单有趣的例子 孟也清（原创）REV1.02 很显然，这些超越方程都可以编个简单程序解决，但这里说的是仅使用普通函数计算器, JUST FOR FUN! 解方程 1 X=Cos(X) 这可能是世界上最简单的用函数计算器迭代方式解超越方程的例子了，只要你连续按函数计算器上的 COS 键。第一个近似解可以是计算器上显示的任何数字，如一开机为 0 就可按键，或是都无所谓， 因为COS 是周期函数，所有数字都会以 2 π为模。 按键若干次后你就看到那个解趋近你使用的计算器的最高精度。 在 8 位计算器上得到 X=0.7390851,约按键 50 次， 在 10 位计算器上得到 X=0.739085133,约按键 52 次， 在 Windows 上的 32 位计算器上为 X=0.73908513321516064165531208767387 ，约按键200 次。 注意上面 X 是弧度 若 X 是“度“则收敛更快, 仅 10 次即可得到 32 位解 X=0.9998477415310881129598107686798 解方程 2 X= - LOG(X) 见下图，蓝色为 y=log(x), 紫色为 y=-x, 交点约为 X=0.4 若用 X 取对数再取正值后再迭代，其过程发散。 所以这样解, 将两次相近的解的几何平均值代回去迭代。有弦位法的意思。 X0=0.4 X1’=-Log(X0) =0.39794 X1=(X0+X1’)/2=0.39897 经过 10 次迭代可得到 X10=0.399012978260252 用几何平均值代回去迭代，也是 10 次，因为 Xn 范围很小。 1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1 解方程 3 X=10LOG(X) 若 X 为功率，而 10LOG(X)表示 dBm，则在数值上有两个点它们是相等的。 即求解方程X=10LOG(X) 的两个解。 见下图，蓝色为 y=x, 紫色为 y=10log （x ）, 交点 2 约为 X=10 ，y=10LOG(10)=10 ，此点可用直接迭代求出，但收敛速度不很快。 交点 1 约为 X=1.4 ，此点用直接迭代或上面平均值迭代均发散，反而在计算器上用凑数法比较快，为 1.371288573~4 当然可考虑牛顿法（切线法）切线法似乎也会发散。弦位法应可以，没试过。 2 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12 -5 -10 -15 从放大的下图可以看出 当选定一个 X 后，取对数 X10 后，X 会沿着绿色箭头方向移动，而其移动是向背离真解（橙色虚线）方 向，所