信息安全数学基础考试复习题.docVIP

第一章 27 证明：如果整数a,b,c是互素且非零的整数，那么（ab,c)=(a,b)(a,c) 证明：由题(a,b)=1=(a,c), 因为a,b,c 互素，所以（ab,1）=1, 所以（ab,c)=(a,b)(a,c) 28 求最大公约数 （1）（55,85） 解：85=55*1+30 55=30*1+25 25=5*5 所以（55,85）=5 （2）（202,282） 解：282=202*1+80 202=80*2+42 80=42*1+38 42+38*1+4 38=4*9+2 4=2*2 所以（202,282）=2 29 求最大公因数 （1）（2t-1,2t+1） 解：2t+1=（2t-1）*1+2 2t-1=2*（t-1）+1 t-1=（t-1）*1 所以（2t-1,2t+1）=1 （2）（2n，2（n+1）） 解： 2（n+1）=2n*1+2 2n=2*n 所以（2n，2（n+1））=2 32 运用广义欧几里得除法求整数s，t使得sa+tb=(a,b) 1613,3589 3589=1613*2+363 1613=363*4+161 363=161*2+41 161=41*3+38 41=38*+3 38=3*12+2 3=2*1+1 2=1*1+1 所以（1613,3589）=1 1=3-1*2=3-1*（38-3*12）=14*4-14*（161-3*41）= - 14*161+55*（363 - 2*161）=55*363+（-124）*（1613 - 4*363） =(-124)*1613+551*(3589 – 2*1613)=551*3589+(-1226)*1613 所以S=-1226 t=551 2947,3772 50 求最小公倍数 （1）8,60 （3）49,77 解：77=49*1+28 49=28*1+21 28=21*1+7 21=7*3 所以（49，77）=7 所以[49,77]=49*77/7=539 51 求最大公因数与最小公倍数 （127355372 解：所以27355372） 27355372]（22*3*5*7*11*13 解：2*3*5*7*11*13）=2*5*7 2*3*5*7*11*13]=23*3*57*7*113*13 60 求7x+4y=100的整数解 解：因为 (7,4)|100 所以该方程有解 当x=4，y=18时，7x+4y=100成立 所以方程的整数解为 X=4-4t t=0,+1,+ -2,…… y=18+7t 第二章 6 2008年5月9日是星期五，问第220080509天是星期几？ 8 设p是素数，证明：如果a2≡b2(mod p) 则p|a-b或p|a+b 10 设整数a,b,c(c0),满足a≡b(mod c),求证：（a,c） 24 计算mod 7） 解：因为36≡1 mod 7 所36*166666+4（mod 7）≡34（mod 7）≡4（mod 7） 35 证明：如果p和q是不同的素数，则pq - 1+qp - 1≡1(mod pq) 36 证明：如果m和n是互素的整数，则mΨ(n)+nΨ(m)≡1(mod mn) 第三章 1 求求出下列一次同余方程的所有解 （1）3x≡2（mod 7） （2）6x≡3（mod 9） 解：因为（6,9）=313 所以原同余式有解 同余式6x≡3（mod 9）的一个特解x0≡2（mod 9）所以所有解为x≡2+3t（mod 9） t=0,1,2 即x≡2,5,8（mod 9） 8 求11的倍数，使得该数被2,3,5,7除的余数为1 解：由题意得：x≡1 mod 2 x≡1 mod 3 x≡1 mod 5 x≡1 mod 7 x=11k① M=2*3*5*7=210 M1=3*5*7=105 M1’M1≡1mod 2 →M1’=1 M2=2*5*7=70 M2’M2≡1mod 3 →M2’=1 M3=2*3*7=42 M3’M3≡1mod 5 →M3’=1 M4=2*3*5=30 M4’M4≡1mod 7 →M4’=4 X=105*1*1+70*1*1+42*3*1+3*4*1(mod 210)≡1② 由①②得x=2101……解非唯