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机械振动和电磁振荡 【例10-2】一质量为m的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。 解： 船静止时浮力与重力平衡， 船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直向下的坐标轴为y轴，船的位移用y表示。 船的位移为y时船所受合力为： 船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为: 因 得: 动能 势能 以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。 系统总的机械能： 五、简谐振动的能量 表明简谐振动的机械能守恒。能量的平均值为 上述结果对任一谐振系统均成立。 考虑到 ，系统总能量为 谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线: 势能和动能的变化频率是振子频率的两倍 振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动，称为无阻尼自由振动。 在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。 阻尼振动（damped vibration） 阻尼：消耗振动系统能量的原因。 阻尼种类：摩擦阻尼 辐射阻尼 ：阻力系数 在阻力作用下的弹簧振子 引入 固有角频率 在小阻尼条件下 ，微分方程的解为: 其中 ，阻尼系数 【检验】 余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动； 反映了阻尼对振幅的影响。 其中 和 为积分常数,由初始条件决定。上式中的 阻尼振动的准周期性振动 阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。 位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振动的周期，有 显而易见，由于阻尼，振动变慢了。 阻尼振动的振幅为： 阻尼振动振幅的衰减程度。 振幅随时间作指数衰减。阻尼 大小决定了 阻尼振动的三种情形： 临界阻尼 过阻尼 欠阻尼 欠阻尼 过阻尼 临界阻尼 通过控制阻尼的大小，以满足不同实际需要。 应用：1、机器加大摩擦阻尼 3、灵敏电流计临界阻尼 2、弦乐器加大辐射阻尼 物体在周期性外力的持续作用下发生的振动 称为受迫振动。（如荡秋千）（受迫谐振动） 物体所受驱动力： 运动方程： 令 ， 受迫振动（forced vibration） 对于阻尼较小的情形，运动方程之解表示为: 衰减项 稳态项 稳态时振动物体速度： 在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则系统达到稳定振动状态。 式中 经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。 对于受迫振动，当外力幅值恒定时，稳定态振幅随驱动力的频率而变化。当驱动力的角频率等于某个特定值时，位移振幅达到最大值的现象称为位移共振。 共振（resonance） 受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象称为速度共振。 根据 在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以认为等同。 阻尼=0 阻尼较小 阻尼较大 关于受迫振动要求搞清： 1、受迫振动的概念 在驱动力 的作用下系统的振动 稳定时系统振动的频率 = 驱动力的频率? 2、共振的意义和规律 在弱阻尼即? ? 0的情况下， 系统的振动速度和振幅都达到最大值 — 共振。 —— 受迫振动。 应用： 声、光、电、原子内部、工程技术? 同时要注意避免共振造成破坏。 当? = ? 0时， 小号发出的声波足以使酒杯破碎 随后在大风中因产生共振而断塌 1940年华盛顿的塔科曼 大桥在大风中产生振动 发生共振时由于振幅过大可能损坏机器、设备或建筑。 电路中电压和电流的周期性变化称为电磁振荡。 LC振荡电路 电容+自感线圈 向左合上开关K，使电源给电容器充电，然后将开关K 接通LC 回路，出现电磁振荡效应。 §10-4 电磁振荡 一、LC 电路的振荡 当穿过闭合导体回路所限定的面积的磁通量发生变化时，回路中将产生感应电流。 【复习】法拉第电磁感应定律 闭合导体 闭合回路 的正方向：L 的方向 的正方向：与L 成右手螺旋 感应电动势： 感应电流的磁场 — 阻碍磁通量的变化 S S ? ? 系数L（0）—自感系数、自感 当电流 I 变化时，通过该线圈的全磁通（磁链）? 也发生变化，因而在这个线圈中将产生感生电动势 — 自感电动势 【复习】自感 自感电动势 的正方向取为电流 的方向，否则式中负号消失！ ：螺线管体积 长直螺线管的自感系数 L只与线圈自身性质有关 LC 回路与弹簧振子振动的类比 LC 回路与弹簧振子振动的类比 在 LC 电路中，电荷与电流(电场能量与磁场能量)随时间作周期性变化，且不断相互转换。若电路中无能量损耗，这种变化将一直持续下去，这种现象称为无阻尼自由振荡。 设某一时刻电容器极板上电量为q,电路中电流为i，取LC 回路的顺时针方向为电