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工程力学A (下) 北京理工大学宇航学院力学系 韩斌 * * ( 11-2) 29/II 例 题 D-12 解： 研究对象为滑轮系统, 所受的约束为理想约束。 计算动能 作功的力：轮I和重物的重力,弹簧弹性力 §19 -20 动能定理 动量原理 状态1:初始静止时, 状态2:重物下落任意s时 法1:应用动能定理 动滑轮:一般平面运动, 重物:平移, 定滑轮:定轴转动 图示滑轮系统的动、定滑轮均为半径R的均质圆盘，重为P。滑轮上绕有质量忽略不计且不可伸长的细绳，其一端固定在A处，另一端接在一刚性系数为k的弹簧上。设系统开始处于静止位置时弹簧并未变形。系统由静止释放进入运动, 求：当重量为P的重物下落距离 s 时，动滑轮轮心C的速度和加速度(各处摩擦不计)。 A B C o k I II s P 例 题 D-12 §19 -20 动能定理 动量原理 B为轮I速度瞬心 A B C o k I II s P P P 计算力的功： 根据系统积分形式的动能定理： 根据系统微分形式的动能定理： 例 题 D-12 A B C o k I II s P 注意:系统任意时刻(此时C点位移为s,速度为vC)动能为： P P 任意时刻外力功为 例 题 D-12 由于作功的力仅有轮I、重物的重力,弹簧弹性力 §19 -20 动能定理 动量原理 状态1:初始静止时,状态2:轮I下落任意s时 计算动能和势能: 重力势能的零点:初始时轮I的轮心C处 弹性势能的零点:弹簧未变形状态 法2:应用机械能守恒定理: A B c o k I II s P P P 对 直接求导也可得 例 题 D-13 §19 -20 动能定理 动量原理 图示重为P1，半径为r的均质圆柱形滚子，由静止位置开始沿与水平面成 角的斜面作纯滚动，铰接于滚子轴心O的重量为P2的光滑杆OA随之一起运动，试求滚子轴心O加速度大小。 A O 解： 受力和运动分析： 圆轮：纯滚动（一般平面运动） 杆OA的运动： 平移 系统受力：重力, 斜面支持力,轮与斜面间静摩擦力 作功的力：重力， 不作功的力：斜面的支持力，纯滚时的静摩擦力 例 题 D-13 §19 -20 动能定理 动量原理 图示重为P1，半径为r的均质圆柱形滚子，由静止位置开始沿与水平面成 角的斜面作纯滚动，铰接于滚子轴心O的重量为P2的光滑杆OA随之一起运动，试求滚子轴心O加速度大小。 A O 写出任意时刻系统的动能： 对任意时刻的动能求微分： 例 题 D-13 §19 -20 动能定理 动量原理 图示重为P1，半径为r的均质圆柱形滚子，由静止位置开始沿与水平面成 角的斜面作纯滚动，铰接于滚子轴心O的重量为P2的光滑杆OA随之一起运动，试求滚子轴心O加速度大小。 对任意时刻的动能求微分： 作功的力有重力 ,力的元功为: A O C 且 又有 s y 例 题 D-13 §19 -20 动能定理 动量原理 图示重为P1，半径为r的均质圆柱形滚子，由静止位置开始沿与水平面成 角的斜面作纯滚动，铰接于滚子轴心O的重量为P2的光滑杆OA随之一起运动，试求滚子轴心O加速度大小。 利用动能定理的微分形式： ( ) 又有 (方向如图) A O C s y 动能定理的微分形式应用要点 1.求加速度或角加速度，用微分形式的动能定理时，应在一般位置写出系统的动能再求导。 2.对一般位置的动能 T 求导，可有两种方式： (1)将各部分速度、角速度间关系找出,T表达为系统独立的速度或角速度(个数等于自由度)的函数后再求导。 ——T与各部分速度角速度关系简单时。 (2)将T表达为系统中各刚体的速度或角速度的函数后求导，求导后会出现各点或各刚体的加速度、角加速度， 再运用运动学知识找出其关系后代入求解。 ——T的计算表达式较复杂时。 例 题 D-13 §19 -20 动能定理 动量原理 A B C 如书上例19-8，任意时刻系统的动能为 求导： 例 题 D-13 §19 -20 动能定理 动量原理 四、动量定理 动量定理：系统的动量变化与外力的冲量之关系 力的元冲量： （一）力系的冲量 冲量——度量力在一段时间域内的积累效果 将 定义为力 在时间间隔 内的冲量 ,即： 多个力作用下的冲量: (D-51) 单个力的冲量： 故力系的冲量 (D-52) （比较: 功——度量力在空间位移上的积累效果） 功造成系统动能的变化 （1）力系的冲量就等于力系的主矢在同一时间间隔内的冲量。 （2）由于内力系和力偶系的主矢均为零，故这两种力系的冲量均为零 冲量的特点： ——内力或力偶不改变物体系统的总冲量 （二） 质点的动量