数学分析 第十一章 广义积分.pptVIP

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一、无穷限的广义积分 四、小结 一、 无穷积分收敛的判别法 1. 柯西准则 P54, P38 二、 无穷积分的性质 性质1 性质2 性质3 性质4 证: 性质5 注 性质5说明绝对收敛的积分自身一定收敛.但自身收敛的积分不一定绝对收敛. 我们称收敛而不绝对收敛为条件收敛. 2. 比较原则 2. 比较原则 证:[a] 推论 1 (比较判别法的极限形式) 推论1、2称为 柯西判别法 推论 3 推论 2 解: 例1. 讨论       收敛性. 根据比较原则 例2. 讨论下列无穷积分的收敛性, 解(1): 根据柯西判别法 解(2): 根据柯西判别法 例3 解 根据比较原则, 例4 解 根据极限判别法,所给广义积分发散. 例5 解 根据极限判别法,所给广义积分发散. 证 即 收敛. 例 解 所以所给广义积分收敛. 第四节 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 . Cauchy 收敛原理 一. 瑕积分的性质 性质1 性质2 性质3 注 性质3说明绝对收敛的积分自身一定收敛.但自身收敛的积分 不一定绝对收敛. 我们称收敛而不绝对收敛的积分为条件收敛. 二. 瑕积分收敛判别法 1,柯西准则 2,比较原则 推论 3,柯西判别法 推论 Abel 判别法 例1 狄利克雷判别法 A-D 判别法 例1 解 由洛必达法则知 根据柯西判别法极限形式,所给广义积分发散. 例2 解 根据比较判别法, 特点: 1.积分区间为无穷; -函数的几个重要性质: 三. 小结 一. 瑕积分的性质 二. 暇积分收敛的判别法 1,柯西准则 2,比较原则 3,柯西判别法 4,狄利克雷判别法 5,阿贝尔判别法 * 第十一章 广义积分 (反常积分) 引例 自地面垂直向上发射火箭,火箭质量 为 m,试计算将火箭发射到超出地球的引力范围时, 克服地球引力所作的功,并由此计算初速度至少为 多少才可使火箭超出地球的引力范围? §1 无穷区间上的广义积分 分析:取坐标系如图,设地球半径为R,质量为M,火箭质量为m,与地心的距离为x, 根据万有引力 定律,火箭所受地球引力为: R x x 当 x = R 时,引力 = 重力 火箭在距离球心 处所受地球引力为: R x dx x x+dx dW 推力克服地球引力作功,推力 = 引力, 火箭到达离地面高h时,所作的功 R x dx x x+dx 动能 克服引力作功 无穷限的广义积分 问: f(x)在 (-∞? b]上的反常积分如何计算? 若记: 例1 计算广义积分 解 例2 计算广义积分 解 证 p0时,是 指数衰减函数 证 §2 无界函数的广义积分 瑕点 问: f(x)在[a, b)上的反常积分如何计算? 定义中c为瑕点,以上积分称为瑕积分. 例5 计算广义积分 解 证 问: 是否正确? 解 例7 计算广义积分 解 故原广义积分发散. 例8 计算广义积分 解 瑕点 思考题解答 积分 可能的瑕点是 不是瑕点, 的瑕点是 思考题 积分 的瑕点是哪几点? 例9 解 (1) (2) 1. 无穷限的广义积分 2. 无界函数的广义积分(瑕积分) 注意:不能忽略内部的瑕点! 练 习 题 ? 练习题答案

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