解方程组的直接法.pptVIP

同 A 的 LU 分解过程, LDLT分解的计算公式为 则 这种解方程组的方法称为 LDLT 分解法。 其计算公式如下 三、平方根法（LLT 分解法） 当矩阵 A 对称正定时, 其顺序主子式均大于0, 可知其 LDLT 分解存在，且 则 L1为下三角矩阵. 则 A=LDLT =LD1D1LT= (LD1)( LD1)T 定理4 设矩阵 A 对称正定,则必存在下三角阵 L, 使 A=LLT 上式称为正定矩阵的 LLT 分解. 同 LU 分解公式的求法,可得LLT分解的计算公式 当 A 对称正定时, 解方程组 Ax=b 等价于解两个三角形方程组 Ly=b , LTx=y，其计算公式如下 这种解方程组的方法称为平方根法或LLT 分解法。 解系数矩阵为正定矩阵的方程组的LDLT方法称为改进的平方根法。 四、追赶法 当矩阵A为三对角矩阵，即 在 A 的LU 分解中, L取下三角阵, U 取单位上三角阵, 这样求解方程组 Ax=d 的方法称为追赶法. 当 A 有唯一的 LU 分解. 其中： 其中： 解方程组 Ax=b 等价于解Ly=d , Ux=y,计算公式如下 追的过程 赶的过程 ① 非负性 ||x||?0 ，等号仅当 x=0 时成立； ② 齐次性 对任何实数 ? , || ? x||=| ? |? ||x||； ③ 三角不等式 ||x+y||? ||x|| +||y|| ； 则称 ||x|| 为向量 x 的范数。 定义1 对任意 n 维向量 x ?Rn，若对应非负实数 ||x|| ，满足 第四节 向量与矩阵的范数 设 x = ( x1 , x2 , … , xn)T , 常用的向量范数有 它们分别叫做向量的?-范数、1-范数、2-范数和 p -范数（0p+?）。 不难证明这几种范数满足下述关系 事实上，对 Rn 上任意两种向量范数 ||x||? , ||x||? , 都存在与 x 无关的正常数 c1 , c2 使 这种性质称为向量范数的等价性。 定义2 对任意n 阶方阵 A=(aij)nn，若对应一个非负 实数 ||A|| ，满足 ① 非负性 ||A||? 0 , 且||A||=0当且仅当A=O; ②齐次性 对任意实数 ? , || ? A||=| ? | ? ||A||; ③三角不等式 对任意两个n阶方阵A与B, 有 ||A+B|| ? ||A||+||B|| ④相容性 ||AB|| ? ||A|| ? ||B|| 则称 ||A|| 为矩阵A的范数。 上页 下页 第5章 解线性方程组的直接方法 基本思想：把一般线性方程组化为系数矩阵为三角 矩阵的线性方程组来求解。 直接方法：若计算过程中没有舍入误差，经过有限次的算术运算，可求得方程组 ( |A|?0 )的精确解的方法。主要用于解系数矩阵是低阶稠密矩阵的线性方程组。 如: 上三角矩阵所对应的线性方程组 解为 下三角矩阵所对应的线性方程组 计算量（乘除法的主要部分）为 n2/2. 解为 第一节 消元法 一、Gauss顺序消元法 ——按自然顺序进行 的消元法。 记 Ax=b 为 A(1)x=b (1) ，即 1、基本思想：将化为与之等价的三角形方程组来求解，具体步骤如下： 若a11(1)?0，记 li1= ai1(1) /a11(1), i=2 , 3 , …, n , 第i个方程减去第一个方程乘以- li1得 若用矩阵表示，相当于用一个初等矩阵 L1 左乘 A(1) 和 b(1) , 即 L1A(1) =A(2) , L1 b(1)=b(2)， 其中 若akk(k)?0,记 lik= aik(k) /akk(k), i=k+1, k+2,…,n 第i个方程减去第k个方程乘以 -lik，用矩阵表示， b(k) , 分别得到 LkA(k) =A(k+1) , Lk b(k)=b(k+1)， 其中 相当于用一个初等 矩阵Lk 左乘A(k)和 最后得 即 A(n)x=b (n) 方程组的的解为： 前面称为消元的过程，后面称为回代的过程。 以上n-1步消元过程就是 L 为单位下三 角矩阵 令 U为上三角矩阵 即